Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
5.4. Механизмы перехода к стохастичности
в результате бифуркаций квазипериодических колебаний
В 1944 г. Л.Д. Ландау [88], а позднее, в 1948 г., и в несколько иной форме Е. Хопфом [89] был предложен сценарий возникновения турбулентного движения в виде бесконечной иерархии бифуркаций,приводящих к усложнению регулярных пульсаций в нелинейных диссипативных средах, примером которых может служить поток движущейся жидкости.
Механизм возникновения турбулентного движения по Ландау - Xon-фу выглядит так: при некотором значении управляющего параметра н ~ц, в среде возникает периодический режим автоколебаний частоты ы(. С ростом ц = IJ2 > її і появляется модуляция на второй частоте и>2 в общем случае, рационально не связанной с со і. Возникают двухчастотные биения, которым в фазовом пространстве системы соответствует аттрактор в вице эр-годического двумерного юра. При дальнейшем возрастании управляющего параметра в спектре <1>урье автоколебаний последовательно возникают
90 новые независимые дискретные частоты со, (/ =3. 4,5,...) наряду с их целыми суммарными и разностными комбинациями Лгтрактор представляется в этом случае /-мерным эргодическим тором, по не является странным ввиду дискретности спектра и отсутствия перемешивания. Если число / несоизмеримых частот в спектре квазипериодического движения велико, то временная реализация х(г) выглядит "случайной", так как автокорреляционная функция ^х(г) процесса х(г) спадает во времени пропорционально а время возврата Пуанкаре (квазипериод колебаний) растет пропорционально exp kl, к1.
За счет конечности времени регистрации экспериментальный спектр мощности будет всегда обладать сплошным пьедесталом с дискретными ?-образными выбросами, число которых для / > 1 очень велико. Наличие малых флуктуаций в связи с большим квазипериодом приводит к раэмы-тию спектральных линий, а для I > I0 (/о зависит от конкретного уровня шумов) - к их перекрытию. В результате реализуется вполне оправданная с физической точки зрения картина возникновения турбулентности, которая согласуется с традиционными представлениями о стохастиза-цин движения в системах с большим числом степеней свободы, но не имеет ничего общего с динамической стохастичностью, которой отвечает странный аттрактор.
В связи с дальнейшим развитием методов качественной теории дифференциальных уравнений (начало 60-х годов) стали возникать новые идеи трактовки механизма образования турбулентности как сложного характера в поведении фазовых траекторий. Наиболее от'іетливо эта тенденция проявилась в работах Д. Рюэля и Ф. Такенса [27, 129]. По сценарию Рю> .!.я - Такенса (1971 г.) динамическая стохастичность может развиться после конечной последовательности бифуркаций. Исследователи показали, что если имеется динамическая система с квазипериодическим решением, характеризующимся четырьмя несоизмеримыми частотами ш/, то можно указать типы возмущений достаточно общего вида, в результате которых квазипериодический поток разрушается с образованием странного аттрактора. Отметим, что вне зависимости от конкретных выводов рабогы Рюэля - Такенса огромную роль в формировании принципиально новых взглядов на динамику нелинейных систем сыграло введенное ими в рассмотрение понятие странного аттрактора как математического образа стохастичности в динамической системе
Результат Рюэля - Такенса состоит в следующем. Предположим, что в окрестности значения параметра р = р0 ЛЛмерная динамическая система имеет единственное устойчивое состояние равновесия О. При Ц ж Hi > Но в результате бифуркации Андронова - Хопфа из состояния равновесия рождается устойчивый предельный цикл Tt, характеризующий автоколебания частоты Ut. С ростом параметра Ti теряет устойчивость с выходом пары комплексных мультипликаторов на единичную окружность (р -= H1 > ці). Рождается двумерный тор T2 с двумя в общем случае независимыми частотами u>j и ш2. Частоты Co1 и и>: зависят от н, и в области существования T2 соотношение частот изменяется, принимая рациональные и иррациональные значения. При н = ц 3 > ц 2 T2 теряет устойчивость и в его окрестности рождается инвариантный трехмерный тор T3, характеризующий трехчастотнос квазинешодическое .движение с компонента-
»1 ми частот , U2 и При достижении параметром значения ц -ц4>ц3 T3 становится неустойчивым, но окружен устойчивым кваэипёриодичес-ким потоком на 7V Д. Рюэль и Ф. Такенс показали, что этот поток не будет общим для всех систем [27]. Малые возмущения квазипериодического потока tu 7*4 приводят к странному аттрактору. В 1978 г. С. Ньюхаус, Д. Рюэль и Ф. Такенс показали, что странный аттрактор может возникнуть нри разрушении трехмерного тора T3 [130].
По сравнению с механизмом Ландау - Хопфа, предполагающим бесконечную иерархию потери устойчивости торами, сценарий Рюэля - Такен-са в принципе характеризуется конечной цепочкой бифуркаций, обеспечивающих достижение хаотического режима. Экспериментальные и теоретические исследования последних лет свидетельствуют о том, что предложенная в [27, 129, 130] картина развития турбулентного движения дает по крайней мере верное направление решения задачи. Это подтверждено рядом экспериментов на радиофизических моделях, а также непосредственно на потоках жидкости (течение Куэтта, неустойчивость Рэлея - Бе-нара и др.), которые в своей основе не противоречат идее Рюэля - Такенса.
