Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
7»
99 I
Рис. 5.6. Седло-узловая бифуркация в одномерном отображении ео странным аттрактором с параметром ц < ц* (/) им = м* (-)
Рис. 5.7. Ламинарная фаза движения в окрестности точки касательной бифуркации
Для малых сил;, можно от дискретного перейти к дифференциальному уравнению
dxjdn = е + *(*„), (5.54)
решением которого является
П = f[€+g(xn)\-4x„. (5.55)
Для g(xn) = ах}, получаем
п = (Af)-1Z2aTCtg [xn(ale)42]. (5.56)
При е -*¦ 0 arctg [jt„ (ale) *'2 ] -*±я/2 и длительность ламинарной фазы (число итераций в окрестности точки касательной бифуркации)
и ~ ІД - Д* Г1/2. (5.57)
Длительность ламинарной фазы оказывается обратно пропорциональной корню квадратному из надкритичности. Действительно, рассмотрим в увеличенном масштабе окрестность точки касательной бифуркации, представленную на рис. 5.7. При отклонении параметра от бифуркационного число итераций отображения в окрестности исчезнувшей неподвижной точки будет тем больше, чем меньше є. В дифференциальной системе этому отвечает процесс последовательного повторения близких к периодическим участков фазовой траектории, средняя длительность которых
<тп> = c\? - ц'\ Ч2. (5.58)
Исчезающий в результате седло-узловой бифуркации устойчивый предельный цикл в окрестности точки бифуркации ведет себя подобно Чеширскому Коту из сказки Jl Кэрола "Алиса в стране чудес". Кот, как известно, имел обыкновение исчезать, оставляя после себя парящую в воздухе улыбку. Такой "парящей улыбкой" исчезнувшего устойчивого решения является ламинарная фаза перемежающейся стохастичности [148]. 100 1> и с. 5.8. График отображения (5.59) 1 / / ? s ? s s /
X / \х1г) / / / / // /f * /1 /1
I I \ / / \ 0 /х13> X 14A
Рис. 5.9. Автокорреляционная функция для значений параметра ц: 1,54368 < <ц*'0)< 1,54369 >ц** (2) S I / \ / / / / і / / / I s У
f* и е. 5.10. Спектральная плотность мощности для значений параметра/і: 1,34368 < < и" </>. 1,54369 >ц*' (2) Впервые перемежаемость типа "цикл—хаос" вблизи седло-узловой бифуркации была обнаружена численно в модели Лоренца при больших значениях г (в области квазиаттрактора!) Помо и Маннсвилем [149]. а затем наблюдалась во многих других системах [3—4]. Безусловно, это далеко не единственная возможность взаимодействия различных режимов при обратных бифуркациях регулярных режимов в системах с квазиаттракторами. Качественно сходные явления наблюдаются вблизи точек субкритических бифуркаций рождения тора, рождения циклов удвоенного периода и др. [3]. Подобные явления могут осуществляться и При взаимодействии не только с регулярными, но и с хаотическими режимами. В этом случае можно говорить о перемежаемости типа "хаос-хаос".
Рассмотрим отображение, получаемое на второй итерации из логистической параболы [I SO],
Xntl = Р{2\х„. р) = 1 - р + Ip2X2 - fx?,, (5.59)
где Plxn, р) = 1 - рх2„- График этого отображения представлен на рис. 5.8. Неподвижные точки , х<3> всегда неустойчивы. Их мультипликаторы положительны и больше единицы. Точки X и х<4> имеют мультипликаторы р < 0 и с ростом р претерпевают бифуркации удвоения периода. При р = р* = 1.401155... их мультипликаторы проходят критическое значение р* = -1,601... и одновременно рождаются два аттрактора Фейген-баума. Области притяжения этих аттракторов в одномерном фазовом пространстве системы (5.59) разделяет "сепаратриса" - неустойчивая точка X*3). Дальнейшее увеличение р > р' сопровождается эволюцией обоих аттракторов через серию обратных бифуркаций удвоения к режиму развитой стохастичности. Дія значений параметра р < р** = 1,543689... неустойчивая неподвижная точка х(3) продолжает играть роль сепаратрисы, разграничивая области притяжения аттракторов. В зависимости от задания начальных точек слева или справа от х^3) результирующим будет движение на первом или втором хаотических аттракторах. В критической точке н - P** аттракторы начинают взаимодействовать через перемежаемость и с превышением порога р^р** объединяются.
Рассмотрим результаты расчетов нормированной автокорреляционной функции Фл(Л) и фурье-спектр интенсивности хаотических последовательностей {х„ } до порога взаимодействия и выше критической точки р" ¦ Для р < р" (к) двух независимых аттракторов идентичны и представляют собой зависимость, близкую к б-функции (рис. 5.9, кривая /). Близок к равномерному в широком диапазоне частот и спектр Sx(f) (рис. 5.10. кривая I). С превышением порога взаимодействия р > р", когда регистрируется эффект перемежаемости "хаос—хаос", статистические свойства последовательности { х„) меняются. При малых превышениях над порогом резко возрастает время корреляции к0 (рис. 5.9. кривая 2). Это ведет к соответствующим изменениям в характере огибающей спектра, которая принимает вид Sx(f) ~ f~a (рис. 5.10. кривая 2). В окрестности критической точки р" < ц < 1.6 график зависимости
Іпяо = Ф|1п(м - м")] (5.60)
представляется прямой в пределах точности расчетов на ЭВМ. Отсюда
102 следует зависимость длительности ламинарной фазы от уровня надкри-тичиости:
