Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
применяя методы интерполяции. Последовательно уменьшая шаг интегрирования At в два раза, можно использовать метод дихотомии и закончить вычисления, когда разность значений |5І - Sj | будет меньше наперед заданной величины, определяющей точность расчета точек Принципиальных трудностей здесь нет, однако повышенные требования к точности определения XS требуют дополнительных вычислений, усложнения алгоритма, что ведет к увеличению затрат машинного времени, особенно если размерность N системы велика.
*) Различие в терминах "сечение" и "отображение" Пуанкаре возникает только в случае утраты информации об операторе эволюции, например при простом геометрическом изображении множества точек на секущей (или ее проекции).
107 Хеноном предложен простой и экономичный метод, который заключается в следующем [151]. Введем в рассмотрение переменную Xfif+l а = S (ДГ|, X2, ¦ ¦ ¦, Xfi/) ¦ Тогда с учетом (6.2) запишем
dXfif+l dS " dS dx, N эS
- = — =2--'-=I —U (6.5)
dt dt і - і bxt dt /=і Ъхі
Теперь секущую поверхность определяет уравнение
Xfi, +, =0. (6.6)
Рассмотрим новую систему, полученную добавлением к (6.2) уравнения
N
XN+ 1 =/w + i(*i.....Xfil), ffi, +, = I ZfdSIdxi. (6.7)
i= і
Преобразуем найденную систему из N + 1 уравнений так, чтобы введенная в рассмотрение новая переменная дглг+і стала, формально, эквивалентной переменной t в (6.2). Для этого поделим первые N уравнений на последнее (6.7), а само последнее уравнение обратим. Получим систему уравнений вида
dx, IdXfii ¦1 = fi(x)lfN +, (Jf),
......................... (6.8)
dxNldxN +1 = /лК*)//л + і(х).
dt/dxN +, = 1^ + ,(*)]-'.
В результате интегрирования системы (6.2) получается, что в момент времени t tі функция S изменила знак в сравнении со знаком при t = tk. Теперь можно найти точку дг5 Є S путем интегрирования системы (6.8) всего на одном шаге по новой переменной дг,у+1, а именно
Дл'* + і « -S2, (6.9)
где S2 = S (Xі, х2, ..., Xfif) в момент времени t = tk+1, соответствующий точке 2 на траектории Г (рис. 6.1). Начальными условиями для интегрирования (6.8) на шаге (6.9) соответственно будут
Xi(S1) = x,(tk+,), t(S2) = і = 1.2.....N. (6.10)
В результате интегрирования системы (6.8) на одном шаге (6.9) мы сразу попадаем на секунтую S, причем погрешность определения течки пересечения строго равна заданной погрешности интегрирования системы (6.2) на одном шаге и является минимальной. При интегрировании системы (6.8) на шаге Дхд ,, = -S2, который с каждым новым пересечением траекторией Г поверхности S будет в общем случае изменяться, можно ис-лользовать лишь те мето;ц>і, которые допускаюг произвольный временной iuar. Предпочтительнее при этом использовать какой-либо один метод интегрирования как при расчете траектории (при решении системы (6.2)), так и при нахождении отображении Пуанкаре (при решении системы (6.8)) При составлении программы, реализующей описанный алгоритм Хепона, нет необходимости ь отдельной «алиси уравнений (6.2) и (6.8), которые
108 можно вводить в общей форме (/ = 1, 2,..., /V)
dXiIdт = qfi(Xi.....Xf,), dtjdr = q, т = Jfjv + i -
(6.11)
Из уравнений (6.11) система (6.2) получается при q = 1, а система (6.8) при •/ s (f,\+1) 1 ¦ Таким образом, применение алгоритма Хенона в совокупности с одним из численных методов интегрирования позволяет в принципе просто получить множество точек пересечения траектории Г с секущей S.
Метод сечения Пуанкаре наиболее нагляден в случае Л* = 3, когда множество точек пересечения лежит на двумерной поверхности. ДляЛг> 4 графическое представление многомерного сечения Пуанкаре теряет наглядность и в этом случае удобнее анализировать проекции многомерного сечения на интересующие двумерные поверхности. Многомерное сечение Пуанкаре задается множеством точек х Є S. Из этого множества выбирают совокупность двух каких-либо координат X1 и xm, І Ф т, I, т = 1,2,..., N и графически изображают двумерную проекцию сечения Пуанкаре на плоскость выбранных координат.
Для периодических решений исходной системы (6.2) сечение Пуанкаре (как многомерное, так и его проекции) содержит конечное множество неподвижных точек. В режиме странного аттрактора на секущей появляется некоторое хаотическое (псевдослучайное) множество точек, число которых растет с увеличением времени интегрирования. В некоторых особых случаях это хаотическое множество может располагаться вдоль тонкой ленты, близкой по структуре к одномерной кривой на секущей [12, !3]. Здесь можно легко рассчитать одномерное отображение (или одномерную функцию доследования), которое строится численно для одной из выбралных координат Xі отображения Пуанкаре. Функция доследования >р (л ) является отображением отрезка в себя:
и на графике выглядит в виде близкой к одномерной кривой, составленной из множества точек. Анализ одномерной функции доследования методом диаграммы Ламерся [7] позволяет ответить на ряд принципиальных вопросов, касающихся особенностей динамики исходной системы уравнений (6 2).
Отмстим, что при анализе стохастических колебаний, когда информацию о структуре стохастического множества можно получить лишь при достаточно большом числе точек в сечении Пуанкаре (п = IO4-IOs), желательно применять либо графопостроитель, либо выводить дачные расчета на графический дисплей с последующим фотографированием ре-вульгата
