Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
В качестве отображения Пуанкаре неавтономной системы можно рассматривать и множество точек пересечения траектории Г с определенным образом выбранной фиксированной секущей S, т.е. вводить секущую уравнением (6.3) в IRyv, как и в автономном случае.
6.3. Численный анализ периодических решений и их бифуркаций
Важным для практики классом решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений являются периодические по времени решения x(t) = x(t + Т), которые для удобства называют циклами. Интересные сами по себе, эти решения и их эволюция с изменением параметров играют особую роль в объяснении многих механизмов рождения странных аттракторов.
С исследованием циклов возникает ряд самостоятельных вычислительных проблем. Прежде всего, нужно решить задачу нахождения периодических решений при фиксированных значениях параметров системы и определе-
112 ііия характера их устойчивости. Во-вторых - задачу изучения эволюции конкретного семейства циклов с изменением параметра и выяснения возможных бифуркаций, обуславливающих потерю устойчивости циклом. И, наконец, необходимо решить задачу построения бифуркационных диаграмм в пространстве параметров системы, определяющих области существования и характер потери устойчивости циклом па границах области.
На практике, естественно, может возникнуть еще целый ряд вопросов, ответ на которые связан, например, с необходимостью построения устойчивых и неустойчивых многообразий седловых циклов, выявлением гомоклинических траекторий и т.д. Однако указанные выше задачи являются наиболее общими, и здесь мы ими ограничимся.
Обратимся снова к автономной системе уравнений (6.1), задающей пс гок в пространстве IRjv.
1. Найдем периодическое решение системы (6.1). Для этого необходимы приближенные сведения о расположении цикла в фазовом пространстве и характере его устойчивости. Например, если цикл мягко рождается из положения равновесия типа фокуса в соответствии с бифуркационной теоремой Андронов а-Хопфа, то при малом смещении по параметру от точки бифуркации предельный цикл нужно искать вблизи неустой-чисой особой точки. Встречаются другие ситугщии, допускающие качественную интерполяцию, которая приближенно может указать форму и область локализации цикла в фазовом пространстве.
В основу численного нахождения цикла можно положить тот факт, что точка пересечения цикла Г в IRjv с секущей S есть неподвижная точка дг* отображения Пуанкаре Р(х„). Пусть дг(г) - периодическое решение системы (6.1) с периодом Г. Траектория Г в фазовом пространстве пересекает поверхность 5 в точке**, удовлетворяющей условию
** = Р(х-). (6.18)
Предположим, что из каких-либо соображений нам известна точка дг0 на секущей S, близкая к неподвижной точке дг*. Найти последнюю можно, решая уравнение
х = Р(х) (6.19)
с помощью итерационной процедуры Ньютона
Xn=Xn.! - ІП*„_і)-*n-i]/[M(jr„_,)-?¦]. (6.20)
где P(X) - отображение Пуанкаре на S,M(x) - линеаризация отображения в точке дг. E — единичная матрица. В качестве начального приближения задается близкая к дг* точка дг°. Сходимость итерационной процедуры не зависит от характер устойчивости цикла! Если известно заранее, что цикл устойчив, то можно использовать метод простых итераций отображения Р.
Неподвижная точка дг* вычисляется с заданной степенью точности е, если выполняется условие
І*И-*И_1І<Є. (6.21)
Когда дг* найдена, то, выбрав в качестве начальных условий ее координаты .V(O) =дг*, систему (61) интегрируют из начальной точки до момента t = T,
Я. B.c. Анишенко
113 когда траектория Г вновь пересекает S в х = х* , т.е. выполняется условие х'=х(0)=х(Т), (6.22)
определяющее период искомого цикла Г.
В результате численного интегрирования строится весь цикл в фазовом пространстве или его проекция на интересующее подпространство, как правило, размерности N = 1 (реализация одной из фазовых координат) или N* 2 (проекция цикла на выбранную илоскость двух переменных).
Если заранее известно, что искомый цикл Г пересекает секущую к раз, то неподвижная точка х* должна быть соответствующей тактности, что необходимо учесть при записи уравнений (6.18)- (620)
После нахождения цикла .он исследуется на устойчивость, определяемую в линейном приближении мультипликаторами цикла р( или (то же самое) мультипликаторами неподвижной точки х* отображения Пуанкаре. Возможны два пути численного решения згой задачи: определить либо собственные числа оператора монодромии Y (T), либо собственные числа линеаризации отображения Пуанкаре в неподвижной точке х*. Если все мультипликаторы P1 (i = 1,2,... ,N- 1)отображения Пуанкаре принадлежат внутренности единичного круга, то найденный цикл асимптотически устойчив по Ляпунову.
2. После гого как цикл найден и определен характер его устойчивости, приступают к решению второй задачи. Цикл известен дня конкретного значения параметра р = р0 системы (6.1), и задана неподвижная точка Xt(Ji0) на секущей S, принедлежащая циклу. Требуется проследить численно эволюцию этого решения при вариации параметра р от значения р = р0 до значения PksPo+ Ь&Р ~ целое число, Ap — шаг движения по параметру). Дня этого в общем случае (для различных к) из начальной точки X0(Pic) методом Ньютона уточняется неподвижная точка x*(?k) (Jfc = s0, 1, 2,...) на цикле Г(рк). Эта точка используется затем в качестве начального приближения для определения близкой к циклу Г(рк + і) начальной точки
