Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
В физических экспериментах используют устройства, ставящие в соответствие фазовым координатам изучаемой системы токи или напряжения, т.е. электрические сигналы, для исследования которых имеется разнообразная измерительная аппаратура. Пели физическая модель непосредственно этот условия обеспечить не и состоянии (например, при экспе-
105 риментах с течением жидкости), то прибегают к различным способам изоморфного преобразования фазовых координат исходной системы в соответствующие электрические сигналы. Так, например, при исследованиях турбулентных течений для определения скорости движения частиц в жидкость добавляют светоотражающие шарики из специального вещества. Эти шарики увлекаются потоком, движутся вместе с жидкостью, и скорость жидкости можно измерить по доплеровскому сдвигу частоты отраженного сигнала облучающего монохроматического лазера [134].
При работе с радиофизическими моделями динамических систем, а точнее — с реальными электрическими автоколебательными системами, математической моделью которых является динамическая система (6.1), экспериментальные исследования в некотором смысле упрощаются, часто становятся более наглядными и могут обходиться заметно дешевле численных. В физических экспериментах гораздо проще и быстрее производится анализ динамики системы при вариации ее параметров, однако получаемые при этом результаты желательно контролировать численно в некоторых характерных режимах. Это связано с тем, что при изменении параметров системы подчас очень легко нарушаются условия адекватности физической и математической моделей. Это может произойти за счет "подключения" нелинейных эффектов, не учитываемых в уравнениях, но имеющих место при изменении параметров реальной модели.
Еще одно важное обстоятельство всегда нужно помнить при изучении динамики нелинейных систем: это принципиальная зависимость характера того или иного решения х(1,ц) (6.1) от конкретных начальных условий дг(/0, ц). В физическом эксперименте трудно, а подчас и практически невозможно проконтролировать начальные условия исследуемого процесса. Кроме того, при вариации параметров одно решение (один конкретный динамический режим) может потерять устойчивость и смениться другим, область притяжения которого близка к области первого режима. Это явление может ускользать от наблюдателя и в итоге приводить к необоснованным выводам.
Из сказаного ясно, что кри исследовании динамики нелинейных систем в целом нельзя отдать предпочтения численным или физическим методам, каждый из которых обладает соответствующими преимуществами и недостатками. Разумнее, там, где это возможно, использовать оба подхода, естественным образом дополняющих друг друга.
В настоящей главе внимание сосредоточено на обсуждении алгоритмов, лежащих в основе наиболее часто используемых численных методов анализа механизмов развития и свойств странных аттракторов. Что касается методов физического эксперимента, то они в отличие от численных не требуют серьезных модификаций применительно к исследованиям хаотических режимов колебаний и нет необходимости специально на них останавливаться.
6.2. Расчет отображений Пуанкаре
Рассмотрим некоторую автономную динамическую систему
Xi = Mxl, х2,..., хк, ?i.....(6.2)
В фазовом пространстве IRw системы (6.2) зададим W - 1-мерную поверх-106 іюсть S, удовлетворяющую требованиям, предъявляемым к секущей Пуан-КЗрс, уравнение которой имеет вид
5(л*і.....xN, H1.....нк) = 0. (6.3)
Отображение Пуанкаре P преобразует точки, принадлежащие поверхности 5, в точки этой же поверхности, т.е. отображает секущую S в себя: для любой точки *л Є 5 преобразованная точка Р(х„) = х„+1 Є 5. Для нахождения отображения P необходимо решать систему уравнений (6.2) при фиксированных значениях параметров Hi, задав начальные условия
xt(O)=X0r /=1,2.....N, X0 es, (6.4)
и последовательно находить точки пересечения полученного решения (т.е. траектории Г, выходящей из х°) с поверхностьюS-
Возникают две самостоятельных задачи. Первая - это расчет траектории x(t) системы (6.2) при заданных значениях параметров и начальных условиях (6.4). Вторая - определение координат точек пересечения траектории с секущей поверхностью, т.е. построение отображения (сечения) Пуанкаре*). Вычислить траекторию можно с помощью любого из известных методов численного интегрирования. Например, при исследовании хаотических систем широко применяются методы Рунге-Кутта, в частности, 4-го порядка. Для определения координат точек пересечения TcS необходимо на каждом временном шаге интегрирования системы (6.2) вычислять значение функции S (х, н) до тех пор, пока не будет зарегистрирован момент смены знака S (х).
Пусть, например, на интервале времени от tk до tk+ At = tk+I (где At -шаг численного интегрирования) произошла смена знака функции S (х), как показано на рис. 6.1. Необходимо уточнить точку хs пересечения траектории с секущей. Эту задачу можно решать с заданной степенью точности,
Рис. 6.1. К иллюстрации метода расчета точки пересечения траектории с секущей поверхностью 5
