Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Однако, как уже указывалось, гиперболические системы представляют еобой идеализированную модель грубых систем с максимально выраженными стохастическими свойствами. В реальных системах приходится сталкиваться чаще всего с квазигиперболичностью. И здесь вопрос о влиянии флуктуаций принципиально усложняется. Под действием флуктуаций структура квазиаттракторов может претерпевать резкие качественные изменения. Шумовое воздействие вызывает разнообразные переходы в хаосе, а также от хаоса к порядку. Причиной таких переходов является множество возможных режимов, сосуществующих в фазовом пространстве квазигипсрболических диссипативных систем и претерпевающих при малых изменениях параметров серию различных бифуркаций. Совершенно ясно, что в зависимости от близости или удаленности значений параметров от бифуркационных точек реакция квазиаттрактора на внешний шум различна. Здесь имеется полная аналогия с реакцией на шум регулярных режимов. Кроме того, ввиду сосуществования множества регулярных и хаотических аттракторов, разделяемых сепарагрис-ными поверхностями, в фазовом пространстве в отсутствие флуктуаций под действием шума возможны эффекты взаимодействия этих режимов.
В отличие от гиперболических систем теоретический анализ влияния флуктуаций на системы с квазиаттракторами наталкивается на математические трудности принципиального характера и до сих пор не проведен.
Статистические характеристики режимов колебаний возмущенных динамических систем (4.31) можно исследовать методами численного эксперимента, основываясь на свойстве эргодичности перемешивающих систем. Эргодичность дает возможность экспериментального построения вероятностных распределений и других статистических характеристик путем соответствующих усреднений по времени. Но можно осуществить переход от стохастических дифференциальных уравнений к кинетическому уравнению Фоккера Планка для функции плотности распределения вероятностей (или просто функции распределения) p(x.p,t) [28- 30,
75 92-94]:
bp N Э (AtP) 1 N Ъг(Вир)
— = _ 2 + - 2 ' . (4.33)
dt / = і Эх, 2/,/=1 Эл/Эху
Коэффициенты сноса /1/ однозначно определяются правыми частями соответствующих динамических уравнений в отсутствие шума, коэффициенты диффузии Bt, - статистикой случайного источника. С окончанием переходного процесса, т.е. с выходом на аттрактор, стационарное распределение зависит только от фазовых координат, параметров и интенсивности флуктуаций. С точки зрения теории бифуркаций учет влияния шумов приводит к появлению нового равноправного управляющего параметра наряду с параметрами невозмущенной системы - интенсивности шума. Поэтому бифуркационные свойства системы определяются всей совокупностью параметров и учитывают возможность фазовых переходов, индуцированных шумами.
Характеристикой стохастической системы, отражающей степень неопределенности плотности распределения вероятностей (или степень неупорядоченности системы), является энтропия как функционал функции распределения (30,95]:
If = -Агб д. г) In р (X, ц, t)dx. (4.34)
Есть ли взаимосвязь энтропии H с энтропией динамических систем по Колмогорову? Какова эта связь и как ведет себя энтропия H при бифуркационных переходах с изменением параметров системы? Ответ на эти вопросы необходимо иметь, чтобы быть последовательными в применении статистического подхода к описанию реальных систем с автостохастическнм поведением.
В теории самоорганизации нелинейных процессов в диссипативных системах принципиальной проблемой является установление закономерностей перехода от хаоса к порядку, выявление фундаментальных количественных характеристик степени упорядоченности режима движения системы. Может ли энтропия H системы являться количественной мерой степени порядка? Казалось бы, ответ тривиален: коль скоро энтропия, являясь мерой степепи "Хаотичности" закона распределения, определяет степень близости случайною процесса к белому шуму, она может служить количественной характеристикой степени порядка. Энтропия упорядоченных движений в системе будет меньше энтропии хаотических движений. Это утверждение не вызывает противоречий по крайней мере в случаях, когда энергия системы в различных состояниях остается постоянной.
При управлении режимами движения в диссипативных системах с изменением параметров могут существенно изменяться как внутренние потери энергии за счет диссипации, так и доля энергии, поступающая в систему от внешнего источника (за счет обратной связи, например). В результате средний запас энергии системы в каждом конкретном режиме, безусловно, является функцией параметров. Возникает новый вопрос: может ли энтропия характеризовать количественно степень порядка (беспорядка) безотносительно к -значению энергии системы? Имеет ли смысл нормиро-
76 вать энтропию на значение энергии и будет ли нормированная энтропия мерой степени хаотичности режима движения, с помощью которой возможно сравіпіть уровни упорядоченности различных как по характеру, так и по энергетическим характеристикам состояний в диссипативных системах со сложными режимами движения? Исследованию этих важных проблем носвяшена теоретическая работа [96].
