Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
В связи с этим одной из важных задач численного исследования систем вида (6.1) является построение сепаратрис, а при наличии параметров системы — нахождение бифуркационного момента рождения петли сепаратрисы при изменении одного параметра и построение бифуркационных кривых, отвечающих наличию петли, на плоскости двух параметров. Интерес также представляют сепаратрисы, идущие из одной седповой особой точки в другую, по отношению к которым петля является частным случаем.
Пусть система (6.1) имеет две седловые особые точки Jru и JT], каждая из которых имеет ровно по одному положительному собственному числу J? и J і соответственно. Тогда из х0 выходит одномерная неустойчивая сепаратриса T(Jr0), а из точки Jt1 -T(Jt1); T(Jt0) - это траектория, выходящая из точки Jt0 в направлении собственного вектора v°, отвечающего собственному числу Для построения T(Jt0) необходимо просто проинтегрировать систему (6.1) из начальной точки, лежащей на векторе v? на очень малом расстоянии є от точки Jt0.
Предположим, что система (6.1) зависит теперь от двух параметров. Запишем ее в виде
.г = ^(Jt, ?, . ?j).
Зафиксируем один из параметров, например ?2 = ?°. и построим сепаратрису T (jt0, ?,) при изменении параметра ?,. В общем случае Г(х0, Mi)> выйдя из точки Jt0, проходит мимо седла Jti, например, загибаясь вверх по отношению к устойчивому многообразию Wt(Xl) точки.vi (рис. 6.10, кривая /). При вариации M1 ситуация может измениться и сепаратриса
128 седла
пойдет ниже W(X1) (рис. 6.10, кривая 2). Ясно, что в силу непрерывности при каком-то промежуточном значении Ui = /іJ сепаратриса Г0 (*0, р*') дожна попасть точно на W(X1) и прийти в точку X1 (рис. 6.10, кривая 3). В случае X0 = X1 бифуркационному значению параметра Ji1 = = р\ соответствует двоякоасимпто тиче екая траектория Г0(х0) типа петли сепаратрисы.
Для уточнения бифуркационного значения необходимо задать некоторую функцию, которая обращается в нуль при M1 = /if. Ее можно определить следующим образом. Выберем в фазовом пространстве IRjv в качестве базиса систему собственных векторов положения равновесия .T1. Пусть «{-это собственный вектор, соответствующий положительному собственному значению S1. Из отрицательных собственных <мсел выберем числа с максимальной действительной частью, которые называются ведущими собственными числами. В случае общего положения имеется либо одно действительное ведущее число, либо пара комплексных ведущих чисел. Назовем условно точку X1 в первом случае седлом, а во втором - седло-фокусом. Предположим сначала, что X1 - седло. Обозначим через v] ведущий собственный вектор, т.е. вектор, соответствующий ведущему собственному «мелу. Проведем гиперплоскость S, чуть сдвинувшись по вектору vj, параллельно (N — 1)-мерному подпространству, образованному всеми остальными собственными векторами. Если же X1 - седло-фокус, то гиперплоскость S проведем через точку Jt0 параллельно (N - 2)-мерному собственному подпространству, отвечающему всем собственным числам, кроме ведущих, и параллельно некоторому вектору, лежащему в ведущей инвариантной плоскости.
В качестве функции расщепления H возьмем расстояние между точкой пересечения Г (х0) с гиперплоскостью S и проекцией пересечения S с устойчивым многообразием Ws(Xi) на (N - 1)-мерное собственное подпространство, отвечающее всем собственным векторам, кроме v{. Так как точка пересечения Г(х0) с S лежит достаточно близко от X1, то устойчивое многообразие Ws(Xl) можно заменить касательной к нему в седле гиперповерхностью К. Наши рассуждения иллюстрирует рис. 6.11.
9. B.C. Ahhuichko
129 ло
Уточнить нулевое значение функции расщепления H можно любым стандартным методом, например методом дихотомии или интерполированием. После уточнения бифуркационного значения параметра д* можно приступить к построению бифуркационной кривой на плоскости уже двух меняющихся параметров- Эта кривая задается условием обращения в нуль функции расщепления сепаратрис и строится так же, как бифуркационные кривые, соответствующие потере устойчивости циклом.
Комплекс программ, реализующий вышеописанные алгоритмы, создан в НИВЦ АН СССР [123,154].
Теперь рассмотрим периодическое решение x(t) системы (6.1). Оно, как известно, характеризуется мультипликаторами Pi,..., рц Так же как и у положений равновесия, у периодических решений (циклов) имеются устойчивые и неустойчивые инвариантные многообразия, образованные траекториями, "наматывающимися" на цикл и "сматывающимися" с него. Пусть цикл Г имеет т мультипликаторов таких, что IP11 < 1, а для остальных выполняется условие IP1 I >1. Тогда размерность устойшвого многообразия равна т + 1, а неустойчивого N - т. Так, например, седловой цикл Г в трехмерном фазовом пространстве имеет двумерные устойчивое и неустойчивое многообразия (рис. 6.12л). Если в фазовом пространстве существует несколько циклов, то их устойчивые и неустойчивые многообразия могут пересекаться по так называемым гетероклиническим траекториям [62,63].
Устойчивые и неустойчивые многообразия одного и того же цикла могут пересекаться по гомоклиническим траекториям. В окрестностях этих особых траекторий могут происходить сложные явления, приводящие, в частности, к стохастичности. Однако задача «меленного построения гомоклинических и гетероклинических траекторий гораздо сложнее зада« построения сепаратрис положений равновесия, поскольку требуется находить линии пересечения многомерных поверхностей. Размерность задачі можно понизить, если иерей ти к соответствующему отображению Пуанкаре. Точка пересечения цикла с секущей S является неподвижной точкой отображения, а пересечения инвариантных многообразий с секущей S образуют инвариантные многообразия этой непод-
