Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
y=y*(t),
и уточненный закон измененіуі переменных X:
Jf = Jf* [?,.У*(0] (10.22а)
во время «быстрого» движения системы («медленное» изменение переменных у во время «быстрого» движения может привести, в частности, к его прекращению).
«Быстрые» движения, продолжающиеся конечные (или бесконечно большие) интервалы времени t, очевидно, отображают высокочастотное (в частности, § 4] РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 759
паразитное) возбуждение тех или иных систем. Они могут получаться также и в том случае, когда при переходе точки (лг; jy) из подпространства F+ в подпространство F~~ среди корней характеристического уравнения (10.18) появляется пара комплексно-сопряженных корней с положительной действительной частью (см. примечание на стр. 754). Примером такой системы может служить ламповый генератор с автоматическим смещением, в котором при больших постоянных времени цепи автоматического смещения получается прерывистая генерация [48, 53, 57, 109].
Затем, что рассмотренный сейчас метод, очевидно, включает в себя как частный случай приближенный метод изучения разрывных колебаний, изложенный выше.
§ 4. Разрывные колебания в системах второго порядка
Для иллюстрации сказанного в § 3 рассмотрим более подробно разрывные колебания в динамической системе, движение которой описывается двумя дифференциальными уравнениями первого порядка вида:
[xx = F (х, у), \ П0 15ЯЇ
где F(x, у) и 0(х, у) — однозначные непрерывные функции, имеющие непрерывные частные производные, а р. — малый положительный параметр (в такой системе, как указывалось выше, «быстрые» движения, продолжающиеся конечные или бесконечно большие интервалы времени, невозможны). Ниже мы будем считать, что фазовой поверхностью рассматриваемой системы является обычная (декартова) плоскость лг, у.
Фазовым пространством «вырожденной» системы (с [а = 0) будет непрерывная линия F, определяемая на плоскости лг, у уравнением
F(x, _у) = 0.
Только в ее малой окрестности (с размерами порядка р.) фазовая скорость изображающей точки будет ограниченной при р,->- 0. Наоборот, вне малой окрестности линии F х -»- со при (_». ——[— 0
(а у остается ограниченной) и = p. ^ ->- 01), т. е. там фа-
зовые траектории системы близки при малых р, к прямым у = const и по ним изображающая точка двигается с большими скоростями изменения лг. Приближенными (тем более точными, чем меньше \Х)
( -U
Например, вне ^^.-окрестности линии F | | О \ f* 2 } —»-сои E j < О ^ 2 j 0 при ix + 0. 760
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
уравнениями этих «быстрых» движений системы по траектории, близкой к прямой у =у0 = const, будут:
у =уй = const, px = F (X, У) (10.17а)
(эти уравнения отображают динамику «быстрых» движений системы только в области «быстрых» движений, т. е. только вне малой окрестности линии F). Для этих приближенных уравнений точки пересечения прямой у=у° = COnst и линии F являются особыми точками (устойчивыми, если Fx 0, и неустойчивыми, если Fx ^>0) и определяют поэтому разбиение прямой у =у° = const на траектории уравнения (10.17а). Если при достаточно больших | х | знак функции F (аг, у) противоположен знаку х, то траектории «быстрых» движений идут из бесконечности и от участков F^ линии F(x, у) = О, на которых Fx (х, у) 0, к тем участкам F+ той же линии, на которых Fx (х, у) <^0. Поэтому «медленные» движения системы (с ограниченными х и у в течение конечных интервалов времени при [J, —0) будут происходить только в малых окрестностях (с размерами порядка р.) участков Fjr:
F(x,y) = 0, F'x(x, у)<О
и будут приближенно отображаться уравнениями:
F(x, у) = 0, y = G(x,y), (10.16а)
т. е. уравнениями «вырожденной» системы (с (j. = 0).
В предельном случае р. -»--[- 0 мы получим следующее разбиение плоскости аг, у на траектории: вся плоскость (вне линии F) заполнена траекториями «быстрых», скачкообразных движений системы— траекториями у = const, идущими к линии F+ (согласно уравнению (10.17а) изображающая точка «скачет» вправо, т. е. .?-»--[-со, в области ^(ат, _у)^>0 и влево, т. е. х->— со, в области F(х, у)<^ 0), а сама линия F1" является траекториями «медленных» движений, вдоль которых изображающая точка двигается с ограниченной фазовой скоростью (с ограниченными х и у и в соответствии с уравнением (10.16а)).
Пусть на линии F имеются как участки F+ (на них Fx (х, у)<^ 0), так и участки F~ (на последних F1x (х, _у)>0). Обозначим через у граничные точки этих участков линии F\ в этих точках, очевидно,
F'x{x,y) = 0
и касательная к линии F горизонтальна'). Если изображающая точка системы, «медленно» двигаясь по траектории F+, приходит в одну
') Здесь и ниже мы считаем, что в точках у F'y (х, у) ф 0, т. е. что эти точки не являются особыми точками кривой F.
Дифференцируя F(x, у) = Q no t и используя дифференциальное уравнение (10. 16а), мы получим, что во время «медленного» движения F'xx-\-F G = 0, § 4] РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 761
из точек f, то далее она выходит в область «быстрых» движений и двигается («быстро», скачком) по выходящей из этой точки траектории «быстрого» движения у = COtist, пока не придет снова на линию «медленного» движения F+. В этом случае в системе будут происходить разрывные колебания, т. е. колебания, состоящие из
