Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
>) Если при переходе точки (х-, у) из F+ в F~ среди корней характеристического уравнения появляется пара комплексно-сопряженных корней с положительной действительной частью (это возможно только при 8 SS 2), то для точек границы между F+ и F- уравнение (10.18) имеет пару чисто мнимых корней, отличающихся друг от друга знаками; в этом случае, как известно, обращается в нуль предпоследний детерминант Гурвица составленный § 3] МАЛЫЕ ПАРАЗИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 755
Предположим теперь, что в силу динамики «вырожденной» модели, т. е. в силу уравнений (10.16), изображающая точка, двигаясь в пространстве F+, придет на граничную поверхность f. Тогда изображающая точка не сможет двигаться далее в подпространстве F (точнее, вблизи F при малых ja-), — она «срывается» в область «быстрых» движений, где переменные лг изменяются при малых [л «быстро» (сколь угодно быстро при (л-»--|-0) по закону, приближенно отображаемому системой уравнений (10.17), но не уравнениями (10.16).
Пусть в s-мерном подпространстве у = const, включая бесконечно удалённые точки, нет других «элементов притяжения» (ш-предель-ных траекторий), кроме устойчивых состояний равновесия, принадлежащих, как мы видели, подпространству F+. Тогда траектории «быстрых» движений «быстро» (т. е. через интервалы времени
Д/=5;0([а-1п —)—> -I- 0 при ц —у -j- 0) возвращаются снова в область «мед-'
ленных» движений — в малую О (|л)-окрестность подпространства F+ и в «полном» фазовом пространстве существуют траектории, проходящие через области «медленных» и «быстрых» движений. В пределе, при [j. —у —[— 0, каждая такая траектория будет состоять из чередующихся кусков двух типов: из отрезков траекторий «медленных» движений, лежащих в я'-мерном подпространстве F+ и проходимых изображающей точкой в соответствии с уравнениями (10.16) за конечные интервалы времени, и из отрезков траекторий «быстрых» движений, каждый из которых лежит в s-мерном подпространстве у = Const и пробегается в соответствии с уравнениями (10.17) мгновенно. «Медленное» движение системы переходит в «быстрое» на граничной поверхности -у:
F (лг, 3/) = 0, D(x\y) = 0,
причем ниже мы будем полагать, что из каждой точки этой поверхности в область «быстрых» движений выходит единственная траектория уравнений (10.17) с соответствующими значениями переменных у, т. е. единственная траектория «быстрого» движения системы').
из коэффициентов уравнения (10.18). Таким образом, в этом случае граница между подпространствами F+ и F~ будет принадлежать другой п' — 1-мер-ной поверхности:
F(x;y) = 0,
Точки этой границы, очевидно, не являются для уравнений «вырожденной» модели (для уравнений (10.16)) ни точками бесконечно больших скоростей изменения переменных лг, ни точками стыка фазовых траекторий.
') Для приближенных уравнений (10.17) точки граничной поверхности f являются сложными особыми точками: для них один корень характеристического уравнения (10.18) равен нулю, а остальные корни имеют отрицательные действительные части. В основном случае (в случае «первой степени негрубости») эти точки аналогичны особым точкам типа седло-узел на фазовой плоскости и из каждой из них (или, точнее, из сколь угодно малой окрестности каждой из них) выходит единственная траектория уравнений (10.17). 756
разрывные колебания
[гл. X
Это даст нам возможность однозначного построения фазовых траекторий системы в «полном» фазовом пространстве с помощью более простых, приближенных уравнений (10.16) и (10.17). При этом можно доказать, что траектории системы уравнений (10.15) при достаточно малых значениях положительного параметра р. действительно идут вблизи траекторий, построенных при помощи приближенных уравнений (10.16 ) и (10.17) указанным выше способом ').
Рассмотренные выше траектории и являются математическими образами разрывных колебаний, к которым близки колебания в изучаемых системах при достаточно малых значениях паразитных параметров. Среди этих траекторий возможны и замкнутые траектории — разрывные предельные циклы, которые, очевидно, соответствуют периодическим разрывным колебаниям (разрывным автоколебаниям).
Таким образом, исследование разрывных колебаний (точнее, колебаний, близких к разрывным при достаточно малых значениях паразитных параметров системы, т. е. при 0<ji<^l) можно проводить, и тем точнее, чем меньше ij,, при помощи приближенных уравнений «медленных» движений системы
в области «медленных» движений, т. е. в той части F+ подпространства F(x\y) = 0, в которой выполнено условие несущественности учтенных паразитных параметров, и при помощи приближенных уравнений кратковременных «быстрых» движений (мгновенных скачков переменных аг)
в остальной части «полного» фазового пространства х, у.
Сделаем одно небольшое замечание по поводу так называемых «условий скачка». Так как при мгновенном скачке переменных х (при |jl —*-|-0) переменные у не изменяются и так как и начальная точка скачка (лг~, у) (точка граничной поверхности f) и концевая точка скачка (лг+, _у+) лежат в одном и том же подпространстве F, то их координаты, очевидно, связаны между собой следующими уравнениями:
