Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим для примера еще раз при малых С и при малых L схему с вольтовой дугой (рис. 509), колебания которой описываются при учете и емкости С и индуктивности L уравнениями (10.11) (см. § 2, п. 1 этой главы). Малая
емкость С в схеме вообще не является существенной, так как всюду на фазовой линии схемы с C = O1 т. е. на прямой
выполнено условие несущественности малой емкости С:
dF 1 § 3] МАЛЫЕ ПАРАЗИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 753
Разбиение фазовой плоскости і, и на траектории для предельного случая С—>4"0 дано на рис. 519, а: все траектории «быстрых» движений («скачков» напряжения и при і = const) идут на фазовую прямую и = E—Ri системы без емкости.
Однако малая индуктивность уже является параметром, существенным для процессов в схеме. В самом деле, фазовой линией схемы без индуктивности является (на плоскости і, и) характеристика дуги — линия и = ф (і), и условие несущественности сколь угодно малой индуктивности оказывается невыполненным на всем падающем участке этой характеристики, так как там
Состояния схемы на этом участке неустойчивы по отношению к «быстрым» движениям (к скачкам силы тока і при неизменном напряжении и, если L—*-\-0), т. е. траектории «быстрых» движений отходят от этого падающего участка характеристики дуги (рис. 519, б). Таким образом, индуктивность L (даже сколь угодно малая) является параметром, существенным для колебательных процессов в схеме с вольтовой дугой, и без ее учета (или без учета параметров, ей эквивалентных, например инерционности дугового разряда) рассмотрение поведения схемы не может дать результатов, хотя бы качественно совпадающих с экспериментальными данными.
3. Разрывные колгбакия [61, 94, 103, 114, 158, 159]. Весьма интересным, особенно для теории систем с разрывными колебаниями, является тот случай, когда я'-мерный образ F: F (х;у) = 0 —- фазовое пространство «вырожденной» модели системы, построенной при пренебрежении всеми паразитными параметрами, распадается на две части: на часть F+, в точках котброй условие несущественности тех или иных малых (паразитных) параметров выполняется (все корни характеристического уравнения (10.18) имеют отрицательные действительные части), и на часть F~, где это условие не выполнено. Тогда только малая 0(\х)-окрестность подпространства F+ (в «полном» я-мерном фазовом пространстве х, у) является областью «медленных» движений изображающей точки: только там скорости изменения состояния системы (т. е. X и у) остаются ограниченными в течение конечных интервалов времени при р. —> -[- 0. Поэтому, если рассматриваемые паразитные параметры достаточно малы (т. е. если мы можем пользоваться для описания «медленного» движения изображающей точки вблизи F+ приближенными уравнениями «медленных» движений системы—-уравнениями (10.16), совпадающими с уравнениями «вырожденной» системы, а само движение можем считать происходящим (также приближенно) в пределах этой части Fjr подпространства F (лг; _у) = 0.
Прежде чем переходить к рассмотрению разрывных колебаний, сделаем одно замечание о границе подпространств F+ и F~ (мы будем обозначать ее через 7). Координаты лг,_у точек подпространства F являются параметрами характеристического уравнения (10. 18), в силу чего корни X этого уравнения зависят (и притом непрерывно) от координат лг,_у. Так как в точках подпространства Fr уравнение (10. 18) не имеет ни одного корня с положительной действительной 754
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
частью, то при переходе точки (х;_у) через границу -j из подпространства F+ в подпространство F' среди корней характеристического уравнения (10.18) появляется или один действительный положительный корень или же одна пара комплексно-сопряженных корней с положительной действительной частью (появление при переходе через границу f более двух корней с положительной действительной частью является случаем особенным, «негрубым» и реализуется только при специальном подборе функций F(x;_y)).
Ниже мы будем рассматривать только первый случай. Тогда характеристическое уравнение (10.18) для точек граничной поверхности у будет иметь один нулевой корень (остальные S — 1 корней имеют отрицательные действительные части), вследствие чего свободный член этого уравнения
^ ' д (X1, X1,.., xs)
равен нулю, т. е. граница f подпространств F+ и F' принадлежит п'—1-мерной поверхности:
Fi(x\y) = 0 (і= 1,2,. . .,я), D(JfjjO = 0. (10.20)
Дифференцируя уравнения Fi (аг; v) = 0 по t и используя уравнения (10.16), мы получим (для «медленных» движений):
S п'
dFi : Y ^Fi
/=1 л=і
или, разрешая относительно х
АГ,
_ Dj(x-, у)
J D (лт; >>) '
где D, (x\ у)— детерминант, образованный из якобиана D(x\ у)
п!
заменой элементов столбца с номером у на —^ ^ ' Gk. Таким об-
ft=i к
разом, точки граиичной поверхности у, на которой D(x\y) обращается в нуль, являются для уравнений «вырожденной» модели (для уравнений (10.16)) точками бесконечно больших скоростей изменения переменных X и точками стыка траекторий этих уравнений, так как при переходе через поверхность f D (аг; у), а следовательно и все аг, изменяют знак1).
