Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
которые обычно и называются условиями скачка. Во многих задачах мы знаем заранее (например, на основании тех или иных экспери-
1J Доказательство этого утверждения (см., например, [105]) выходит за рамки настоящей книги. Для периодических движений систем второго порядка доказательство будет дано в § 4 этой главы.
F{x; у)= 0, y = Q(x-,y)
(10.16)
у = const, par = F (аг; у)
(10.17)
(10.21) § 3] МАЛЫЕ ПАРАЗИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 757
ментальных данных), что «быстрые» движения системы «быстро» переходят снова в «медленные», а уравнений (10.21) достаточно для однозначного определения той точки (дг+, _у+) области «медленного» движения, куда изображающая точка придет в результате мгновенного скачка из заданной точки (х~,у~~). В таких задачах мы можем заменить детальное рассмотрение хода траекторий «быстрых» движений (траекторий приближенных уравнений (10.17)) введением постулата скачка: указанием точек я'-мерного фазового пространства «вырожденной» системы, где «медленные» движения системы невозможны и откуда,'следовательно, начинаются скачки изображающей точки (т. е. указанием области F~ и ее границы f), и указанием «закона скачка»
У+ =У~> F(x-,y-) = 0, F(x\y+) = 0,
позволяющего однозначно определить концевую точку скачка по заданной начальной '). Этим приемом мы будем часто пользоваться при рассмотрении разрывных колебаний в конкретных физических системах.
Обычно условия неизменности переменных у при мгновенном скачке переменных х имеют ясный физический смысл и могут быть получены без составления уравнений движения системы с учетом тех или иных существенных паразитных параметров. Например, в электрических системах эти условия обычно имеют смысл неизменности при мгновенных скачках состояния системы — напряжений на конденсаторах Или силы тока в индуктивностях схемы — и легко получаются из дополнительного предположения об ограниченности токов и напряжений в электрических системах. Однако определение (теоретическое, без обращения к экспериментальным данным) множества точек фазового пространства, из которых начинаются скачки, а также выяснения вопроса, являются ли «быстрые» движения кратковременными и переходят ли они снова в «медленные» движения, требует составления дифференциальных уравнений системы с учетом хотя бы некоторых малых (паразитных) параметров, существенных во время «быстрых» движений системы, требует обращения к уравнениям (10.17).
Рассмотрение дифференциальных уравнений скачков (10.17) особенно необходимо в тех задачах о разрывных колебаниях, в которых условия скачка (10.21) допускают несколько концевых точек скачка (такова, например, задача о разрывных колебаниях связанных мультивибраторов [37]). В таких задачах рассмотрение хода траекторий скачков на основании приближенных уравнений (10.17) снимает эту неоднозначность без введения каких-либо дополнительных (и часто весьма искусственных) предположений и гипотез.
Напомним, что начальные точки скачков — точки граничной поверхности у — в рассматриваемом нами случае являются точками стыка фазовых траекторий уравнений (10.16), 758
разрывные колебания [гл. X
х = х*\ + ,у) (10'22)
В заключение параграфа остановимся кратко на том случае, когда приближенные уравнения (10.17) (при у = Const) имеют (»-предельные траектории, отличные от устойчивых состояний равновесия, имеют, например, устойчивое периодическое или квазипериодическое решение
L - \
, M-
(переменные у в этом решении, как и в уравнениях (10.17), рассматриваются как постоянные параметры); очевидно, этот случай может иметь место только при S 2, т. е. при условии, что малый параметр при производных имеется не менее чем в двух уравнениях системы (10.15). Теперь в отличие от случая разрывных колебаний, рассмотренного выше, «быстрые» движения системы существуют не кратковременно, а в течение конечных, не стремящихся к нулю при р. —> -f- 0 интервалов времени t или даже сколько угодно долго. Поэтому утверждение, что переменные у не изменяются (или, точнее, изменяются мало) за время «быстрого» движения системы, уже не является правильным, Для получения (приближенного) закона изменения переменных у по время «быстрого» периодического (или квазипериодического) движения (10,22) подставим это решение уравнений (10.17) во вторые уравнения (10.15); тогда получим:
J = G jr); jr] (10.23)
или после введения «быстрого» времени t' — —
-g =H G [*•(*', у)-,у]. (10.23а)
Так как переменные у являются медленно меняющимися функциями «быстрого» времени ? О (fx) J , то для приближенного решения полученной неавтономной системы уравнений (10.23а) можно применить «метод усреднения», использованный нами в методе Ван-дер-Поля (см. § 2 и 3 гл. IX). Именно, решение уравнений (10.23а) при малых р. близко к решению «укороченных» уравнений, получаемых путем усреднения правых частей по явно входящему времени:
I=^QW (10.24)
или
У =Giy), (10.24а)
где G (у)—усредненные по ? функции G[x*(t\ .у); .у] или, что то же самое, постоянные составляющие разложений Фурье этих функций по явно входящему f. Интегрируя эти «укороченные» уравнения, мы и получим приближенный (но тем более точный, чем меньше р.) закон изменения переменных у\
