Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Для получения аналитических выражений для условий несущественности малых (паразитных) параметров, учтенных при составлении уравнений (10.15), заметим, что точки я'-мерного подпространства F(x',y) = 0 являются состояниями равновесия для приближенных уравнений «быстрых» движений (10.17) и поэтому поведение траекторий «быстрых» движений вблизи подпространства F (например, на расстояниях порядка \ха (0<^а<^1) от этого подпространства) полностью определяется характером (устойчивостью) этих состояний равновесия. Введем новое, «быстрое» время
f= L
(напомним еще раз, что параметр ;л 0); тогда приближенные дифференциальные уравнения «быстрых» движений (10.17) запишутся в виде:
E = F(x; у), у = const.
Линеаризуя эти уравнения в окрестности точки (х; у) подпространства F, получим систему уравнений первого приближения:
s
dx, vi dFi г . .
а = і 750
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
где Si = Xi — Xi, с характеристическим уравнением
df] дх,
dFi dxs dFj_ dxs
dFi
дх
дх.
0. (10.18)
dFs
dFs
дх
дх
Если все S корней характеристического уравнения (10.18) имеют отрицательные действительные части при любых х, у, удовлетворяющих уравнениям F (at; ^) = 0, то точки подпространства F являются устойчивыми состояниями равновесия для приближенных уравнений «быстрых» движений (10.17) и все траектории «быстрых» движений вблизи подпространства F входят при возрастании t в малую окрестность последнего. Следовательно, в этом (и только в этом) случае малые паразитные параметры, учтенные при составлении уравнений (10.15), не являются существенными, по крайней мере, для процессов, начинающихся из состояний, совместных с приближенными уравнениями «медленных» движений (10.16) *). Таким образом, условия несущественности малых (паразитных) параметров могут быть сформулированы, например, в виде условий Раута — Гурвица [95, 99] для уравнения
Отметим два частных случая, которые понадобятся нам в даль
1) если в «полной» системе уравнений (10.15) имеется только одно уравнение с малым коэффициентом при производной (т. е. если s=l), то уравнение (10.18) будет уравнением первой степени
и условие несущественности малого параметра сводится к неравенству
выполняемому во всех точках подпространства F (аг; у) = 0;
(10.18).
нейшем:
F'x(x-, у) — X = O
J'XO,
(10.19)
') Строгое доказательство сформулированного условия несущественности малых параметров в уравшгниях (10.15) читатель может найти в работах И. С, Градштейна и А. Н. Тихонова [49, 50, 119]. § 3] МАЛЫЕ ПАРАЗИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 751
2) если в системе (10.15) имеются два уравнения с малыми коэффициентами при производных (т. е. если 5 = 2), то характеристическое уравнение (10.18.) примет вид:
dF,
— А
или
A2-
Ox1 dF, дхі
JdIlJ
OF1 Oxi dF« __
дХі
dFs
д (Fu F,),
a (A1, a2) "
:0,
а условием несущественности малых параметров будет выполнение (во всех точках подпространства F) двух неравенств:
OF1 OF1
dIl
дл\
dF, дх3
<0 и D:
д(хи X,)'
дхі dF, дхі
дх, dF, дх,
>0. (10.19а)
Нетрудно видеть, что сформулированное условие несущественности малых паразитных параметров (10.19) выполняется, в частности, для рассмотренных выше RC- и ^/.-контуров (рис. 502 и 503) по отношению к паразитной индуктивности Z0 (в j^C-контуре) и к паразитной емкости C0 (в ^-контуре). Рассмотрим для примера еще раз ^С-контур (рис. 502) с малой паразитной индуктивностью L0. После
введения безразмерного времени U=^S.
t
t' мы приведем уравнение
(10.1а) к виду (10.15):
dl _ dt' ~
где (і --=
¦ q — i = F(q,i), ^ = і,
CRа
— малый положи-
тельный параметр (если паразитная индуктивность Z0 CR2). Следовательно, условие несущественности малой паразитной индуктивности L0: Fj с 0, выполняется во всех точках фазовой прямой q + 1 = 0 упрощенной системы (с р.=0), поскольку Fi = — 1 <0. рис- 518.
При малых La (т. е. при Z0 < CR2) вне линии ^-)-/ = 0 происходят «скачки» силы тока і при почти неизменном заряде q конденсатора, причем все траектории «быстрых» движений на фазовой плоскости q, і идут в малую окрестность прямой q-\-l= 0, которая является (на плоскости q, і) фазовой линией ЯС-контура при пренебрежении малой паразитной индуктивностью Z0 (рис. 518).
Б) Возможен и другой случай, когда условие несущественности малых паразитных параметров не выполняется, по крайней мере, на 752 разрывные колебания [гл. x
некоторой части ' /г'-мерного подпространства F; будем обозначать ее ниже, ради краткости, через F~. Тогда среди корней X характеристического уравнения (10.18), соответствующих точкам подпространства F', имеются корни с положительными действительными частями, сами точки подпространства F~ являются неустойчивыми состояниями равновесия для приближенных уравнений «быстрых» движений (10.17) и в «полном» фазовом пространстве х, у имеются траектории «быстрых» движений, уходящие из малой окрестности подпространства F~ (например, из О (р,а)-окрестности, где 0<^а<^1). Тогда изображающая точка не будет оставаться вблизи этой части F~ /г'-мерного подпространства F и будет выходить в область «быстрых» движеиий (в область «скачков» переменных лг), где, как мы уже указывали, уравнения (10.16), составленные при пренебрежении паразитными параметрами, совершенно не отображают законов движения системы. Следовательно, в этом случае существуют такие движения системы, которые начинаются из состояний, совместных с уравнениями (10.16), т. е. из состояний, принадлежащих /!'-мерному подпространству F, и в то же время не могут быть рассмотрены с помощью уравнений (10.16), т. е. без учета паразитных параметров, сколь бы малы они ни* были. Таким образом, в рассматриваемом случае сколь угодно малые паразитные параметры, учтенные при составлении «полных» уравнений (10.15), являются существенными для процессов в изучаемой физической системе.
