Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
F = F1yIi+ Fxx ?+ 2 F^trl+ F1^rl* + ...,
где i = x — xl, rl=y— y*k и F11 Fxx, Fxy,... — значения соответствующих производных в точке Bk. Так как точки Pk и Pk имеют одинаковые ординаты, а точка Pk лежит в О (]/V )-окрестности точки Bk, то для точки Pk
h! =? О (]/~f* ), а ее абсцисса 5 определяется уравнением
+ ^ + с +
где Ь и с — величины порядка ]/*ц. Так как F"x ^O в точке Bk, то Щ =
( . ' ( = O lp.4 ./, т. е. точка Pk действительно лежит в О і р.4 у -окрестности
точки Bk. § 4] РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
767
(Z7(AfjJz)^O на отрезках P1kPk и QkQjl, так как эти отрезки лежат в малой 0(|/[л )-окрестности интервала ВкАк+1, на котором непрерывная функция Z7(AfjJO^O)- Рассматривая пересечение фазовых траекторий системы (10.15а) с прямыми У~[Г Af±_y = const (на двух из этих прямых лежат построенные нами отрезки PhPZ и QkQji), нетрудно видеть, что при выбранном малом jx траектории системы (10.15а), пересекающие отрезки PjlPk и QkQ'k> входят (при возрастании t) внутрь полосы, заключенной между этими отрезками и содержащей участок BkAk+i разрывного предельного цикла. Это следует из того, что при движении изображающей точки по траектории системы (10.15а)
в точках отрезков PjtPj1t и QkQjt в силу приведенного выше неравенства.
3) Пересечем область (а) (в О (^/^-окрестности точки Ak^i) горизонтальным отрезком (Rm), проведенным из точки Pk в точку Rk+l правой границы области (а). Так как этот отрезок лежит в О (]/|х )- окрестности точки в которой непрерывная функция G(Af,_y)^>0, то при достаточно малых ;х G (х,у)- положительна и на отрезке (Rk+&> тогда траектории системы (10.15а), пересекающие этот отрезок, проходят через него снизу вверх.
4) Соединим
точки Qk и Rft+1 с точками Pk^i и дугами линий F (х,у) = ±у^[ Qm, лежащими вне областей (?,). На них
-Fx(x,y) ^jT \Fy (х,у) I;
поэтому при движении изображающей точки по траекториям системы (10.15а)
= -Fx JFyFG = Qm {Fx + у^Fy ^ 0
в точках этих дуг, т. е. фазовые траектории системы (10.15а), пересекающие эти дуги, входят (при возрастании t) внутрь области (я),
Построенные нами линии, соединяющие точки Pk и Qk с точками Pk+i и Qk+1> ограничивают полосу — часть области (е), которая лежит в некоторой О (У^-окрестности участка Bk Ак+І Вк,л разрывного предельного цикла, содержит этот участок и в которую фазовые траектории системы (10. 15а) входят (при возрастании і). Аналогичным образом производится построение границ области (е) в O(^jx)-окрестностях участков разрывного предельного цикла и при знаках функций F(x,y) и G(x,y), отличных от принятых на рис. 525, Именно, построение участков Pk P'k Pl и Qk Qk границ области (е) сводится к изложенному заменой переменной л: на —Af, если F (х,у) <^ 0 768
разрывные колебания
[гл. x
на интервале BkAk+i, чу на —у, если G(x,y)<^0 на отрезке AkBk; горизонтальный отрезок (Rk+i), пересекающий область (а) в О ОкреСТНОСТИ точки Ak+1, проводится через нижнюю из точек Pk и Qu, если G(a;,_v)^>0 на отрезке AkjrlBk^l, и через верхнюю из них, если G(x,y) <0 на Ak+xBkvX\ затем верхняя из точек Pnk и Qk, если G(a;,_v)^>0 на Аш Bkjri, или нижняя из них, если G(at,j>)<^0 на Ak+i Вш, и точка Rkjfl (т. е. правая точка отрезка если Z7(AT1Jz)^O на интервале BkAkjfl, или левая точка этого отрезка, если Z7(AT1Jr)^O на Bk Аш) соединяются дугами линий F (x,y) = zt JSr^Gm с точками и Qkhl.
Построив указанным способом границы области (є) около каждого из участков разрывного предельного цикла C0, мы получим двусвяз-ную область (е), которая содержит внутри себя разрывный предельный цикл, лежит в некоторой его О (]Л(Г) - окрестности и в которую фазовые траектории системы (10.15а) входят при возрастании времени t (для примера область (є) построена на рис. 524). При-достаточно малых (л. эта область не будет содержать и состояний равновесия системы (10.15а), т. е. таких точек, в которых одно-оременно Z7(atjjz) = O и G(a;,j'} = 0, поскольку таких точек нет на разрывном предельном цикле, а функции F(x,y) и G(x,y) суть функции непрерывные. Тогда (при достаточно малых (j.) построенная область (е) будет содержать внутри себя по крайней мере один устойчивый предельный цикл системы (10.15а).
Докажем теперь, что всякий предельный цикл С системы (10.15а), лежащий в построенной области (є), является при достаточно малых (л. устойчивым; тем самым мы докажем, что при достаточно малых (л. в области (є) существует только один предельный цикл системы (10.15а), так как если бы там существовало несколько предельных циклов, то среди них обязательно были бы неустойчивые. С этой целью рассмотрим характеристический показатель предельного цикла С — интеграл
/==f {т-'+0*)*'
с
взятый по предельному циклу, и покажем, чго /<0 при достаточно малых р. (условие /<^0 является, как известно, достаточным условием устойчивости предельного цикла С; см. § 7 гл. V). Разобьем пр'едельный цикл С точками Ck — точками его пересечения с границей области (а) в О (|/(х)-окрестностях точек Ak — на участки Ch СА+1. Тогда
