Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
/=H/..
где
'*= {
tAcJf-H§ 4]
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
769
— интеграл, взятый по участку CkCkn предельного цикла С. Для определения знака интеграла Ik (при достаточно малых (л) разобьем дополнительно участок Ck Ck+1 предельного цикла на три участка точками его пересечения с линией
FxiО, У) = ~ V- (°у)т> гДе (Gy)m — наибольшее абсолютное значение функции G'y(x>y) в области D, и с границей области (а) в малой окрестности точки Bk (рис. 526). Первая из
них
точка С
(і)
лежит
в О (]/JJL )-окрестности точ-
ки Bji, вторая ветственно,
где
г<|> _
с
,(2)
Рис. 526.
в О (р. 4)-окрестности той же точки '). Соот-
„о
¦f,{
к к
Iх
-Oi
dt
h
-I
Ук
I
•ч-о;
}
..(2)
,(2)
К
sssI Itl+0'}й= I {^+0'}
cAl j і)1
к к
ИЗ)
/!V
+ о; } dt
cX к к+1
¦vft+i
j {n+^o;
Al.
G
dy_ G
dx F
') Линия F'x (x, y) —— p (Gy)m лежит в О (^-окрестности линии Fx (х, у) = 0, отрезок которой в пределах области (а) заключен в О (j^V )-окрестностп ТОЧКИ Bk (х*к, y*k). Поэтому и точка Ck' лежит В О (|/]7)-0КрЄСТН0СТИ точ-
ки Bkl т. е. IjA1* —УІ ,(2)/
О (у ?),
где у
(1).
¦ ордината точки
Для следовательно,
точки CkHxf, ИМеем: \yf — yl\
U
_ATftj^O(p4) (доказательство последнего неравенства аналогично
приведенному в примечании на стр. 766). 25 Теория колебаний770 РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. X
(здесь Xk, yk, xf, yf, xf, yf и хш, уш —координаты точек
Ck> ^k ' ^k и ^+l)-
Так как при достаточно малых ц на участке Ck C{k предельного цикла Fx (х, у)<. — \х (Oy)m < — Iа I Oy (х, _у)| и | Q (х, у) \ > а (а — некоторое положительное число), то /J^ 0, причем, поскольку на этом участке можно выделить отрезок, на котором Fx (х, у)<^ — b (Ь — некоторое положительное число), то
V=0W1
) ( На участке C^k Cf\ лежащем внутри некоторой О у [л4 J -окрестности
точки Bk, \х- х*! ^O ( ц* I \у( I Fx (x, у) \ ^
і
SgO^fA4Ji поскольку в точке Bk Fxx^ О, IO(аг, у)|^>а; поэтому согласно теореме о среднем
¦<2>| пі .ГЇ ^l,Я I ^ о С ,Л
так как
Наконец, на участке Ci^Ck лежащем вне области (a), \F(x, у)\^ V Ijl Om, в силу чего
Таким образом, интеграл Jk= J | Cy^dt равен сумме
ckck +1
отрицательной величины ^k порядка - и величин и 7®, которые
|А 1 если И стремятся К бесконечности при [А-*-{~0> то медленнее, чем —;
и*
поэтому при достаточно малых ц Ik<^0 на всех участках CkCk+ ь следовательно, и характеристический показатель предельного цикла С
с
т. е. предельный цикл С, лежащий в области (s), является устойчивым. Как уже указывалось выше, мы доказали одновременно и единственность предельного цикла системы (10. 15а), лежащего в области
1) Нетрудно получить более точную оценку: 11.' I ^ О (In§ 5] МУЛЬТИВИБРАТОР С ОДНИМ RC-3BEHOM
771
7Hf=S J
(є), т. е. в О (/(Jb)-OKpeCTHOCTH разрывного предельного цикла C0. В итоге сформулированная выше теорема полностью доказана.
Доказанная теорема, очевидно, позволяет использовать разрывный предельный цикл системы
|Aj:=F(Ar, у), у = O (х, у) (10.15а)
в качестве исходного (нулевого) приближения для вычисления тех или иных характеристик автоколебаний в системе (10. 15а) при небольших значениях параметра р. Так, например, период автоколебаний (в нулевом приближении, т. є. при (а —^ —j 0)
dy G ¦
со AlBk
При болце детальном рассмотрении [93, 94, 158, 159] хода фазовых траекторий системы (10.15а) вблизи разрывного предельного цикла можно получить асимптотические разложения уравнения предельного цикла, периода автоколебаний и т. д. В частности, для периода автоколебаний получается выражение вида
L І.
г=г0 +V + ?^v + c^ + o^3),
где А, В и С—числа, определяемые значениями функций F(x, у) и Q (х, у) на разрывном предельном цикле').
Ниже мы займемся рассмотрением разрывных автоколебаний в конкретных колебательных системах, «медленные» и «быстрые» движения которых отображаются (при соответствующих упрощающих предположениях) уравнениями (10.16) и (.10.17) не выше второго порядка.
§ б. Мультивибратор с одним /?С-звеном
Рассмотрим еще раз уже знакомую нам автоколебательную систему, совершающую при известных условиях раз- рис 527 рывные автоколебания, — мультивибратор с одним RC- звеном (рис. 527)г). Как мы уже видели в § 8 гл. IV, модель мультивибратора, построенная при пренебрежении
х) Заметим, что коэффициент А зависит от кривизны линии F (х, у) = О в точках Bk. В частности, когда радиусы кривизны этой линии во всех точках Bk стремятся к нулю, т. е. линия F стремится к линии с изломами в точках Bkt коэффициент А —- 0 и поправка на период становится величиной порядка
pin— (см., например, § 5 гл. VIII).
г) См. также § 8 гл. IV, § 12 гл. V и § 5 гл. VIII,772
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
всеми паразитными параметрами, оказалась «вырожденной», «дефектной» в том смысле, что она без дополнительных предположений (без постулата скачка) не позволяла проследить за колебаниями мультивибратора, не объясняла даже качественных особенностей колебаний мультивибратора. Это произошло из-за того, что среди