Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Андронов А.А. -> "Теория колебаний " -> 282

Теория колебаний - Андронов А.А.

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М.: Физ-мат литература, 1959. — 916 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyakolebaniy1959.pdf
Предыдущая << 1 .. 276 277 278 279 280 281 < 282 > 283 284 285 286 287 288 .. 335 >> Следующая


/=H/..

где

'*= {

tAcJf-H § 4]

РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

769

— интеграл, взятый по участку CkCkn предельного цикла С. Для определения знака интеграла Ik (при достаточно малых (л) разобьем дополнительно участок Ck Ck+1 предельного цикла на три участка точками его пересечения с линией

FxiО, У) = ~ V- (°у)т> гДе (Gy)m — наибольшее абсолютное значение функции G'y(x>y) в области D, и с границей области (а) в малой окрестности точки Bk (рис. 526). Первая из

них

точка С

(і)

лежит

в О (]/JJL )-окрестности точ-

ки Bji, вторая ветственно,

где

г<|> _

с

,(2)

Рис. 526.

в О (р. 4)-окрестности той же точки '). Соот-

„о

¦f,{

к к



-Oi

dt

h

-I

Ук

I

•ч-о;

}

..(2)

,(2)

К

sssI Itl+0'}й= I {^+0'}

cAl j і)1

к к

ИЗ)

/!V

+ о; } dt

cX к к+1

¦vft+i

j {n+^o;



Al.

G

dy_ G

dx F

') Линия F'x (x, y) —— p (Gy)m лежит в О (^-окрестности линии Fx (х, у) = 0, отрезок которой в пределах области (а) заключен в О (j^V )-окрестностп ТОЧКИ Bk (х*к, y*k). Поэтому и точка Ck' лежит В О (|/]7)-0КрЄСТН0СТИ точ-

ки Bkl т. е. IjA1* —УІ ,(2)/

О (у ?),

где у

(1).

¦ ордината точки



Для следовательно,

точки CkHxf, ИМеем: \yf — yl\

U

_ATftj^O(p4) (доказательство последнего неравенства аналогично

приведенному в примечании на стр. 766). 25 Теория колебаний 770 РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. X

(здесь Xk, yk, xf, yf, xf, yf и хш, уш —координаты точек

Ck> ^k ' ^k и ^+l)-

Так как при достаточно малых ц на участке Ck C{k предельного цикла Fx (х, у)<. — \х (Oy)m < — Iа I Oy (х, _у)| и | Q (х, у) \ > а (а — некоторое положительное число), то /J^ 0, причем, поскольку на этом участке можно выделить отрезок, на котором Fx (х, у)<^ — b (Ь — некоторое положительное число), то

V=0W1

) ( На участке C^k Cf\ лежащем внутри некоторой О у [л4 J -окрестности

точки Bk, \х- х*! ^O ( ц* I \у( I Fx (x, у) \ ^

і

SgO^fA4Ji поскольку в точке Bk Fxx^ О, IO(аг, у)|^>а; поэтому согласно теореме о среднем

¦<2>| пі .ГЇ ^l,Я I ^ о С ,Л

так как

Наконец, на участке Ci^Ck лежащем вне области (a), \F(x, у)\^ V Ijl Om, в силу чего

Таким образом, интеграл Jk= J | Cy^dt равен сумме

ckck +1

отрицательной величины ^k порядка - и величин и 7®, которые

|А 1 если И стремятся К бесконечности при [А-*-{~0> то медленнее, чем —;

и*

поэтому при достаточно малых ц Ik<^0 на всех участках CkCk+ ь следовательно, и характеристический показатель предельного цикла С



с

т. е. предельный цикл С, лежащий в области (s), является устойчивым. Как уже указывалось выше, мы доказали одновременно и единственность предельного цикла системы (10. 15а), лежащего в области

1) Нетрудно получить более точную оценку: 11.' I ^ О (In § 5] МУЛЬТИВИБРАТОР С ОДНИМ RC-3BEHOM

771

7Hf=S J

(є), т. е. в О (/(Jb)-OKpeCTHOCTH разрывного предельного цикла C0. В итоге сформулированная выше теорема полностью доказана.

Доказанная теорема, очевидно, позволяет использовать разрывный предельный цикл системы

|Aj:=F(Ar, у), у = O (х, у) (10.15а)

в качестве исходного (нулевого) приближения для вычисления тех или иных характеристик автоколебаний в системе (10. 15а) при небольших значениях параметра р. Так, например, период автоколебаний (в нулевом приближении, т. є. при (а —^ —j 0)

dy G ¦

со AlBk

При болце детальном рассмотрении [93, 94, 158, 159] хода фазовых траекторий системы (10.15а) вблизи разрывного предельного цикла можно получить асимптотические разложения уравнения предельного цикла, периода автоколебаний и т. д. В частности, для периода автоколебаний получается выражение вида

L І.

г=г0 +V + ?^v + c^ + o^3),

где А, В и С—числа, определяемые значениями функций F(x, у) и Q (х, у) на разрывном предельном цикле').

Ниже мы займемся рассмотрением разрывных автоколебаний в конкретных колебательных системах, «медленные» и «быстрые» движения которых отображаются (при соответствующих упрощающих предположениях) уравнениями (10.16) и (.10.17) не выше второго порядка.

§ б. Мультивибратор с одним /?С-звеном

Рассмотрим еще раз уже знакомую нам автоколебательную систему, совершающую при известных условиях раз- рис 527 рывные автоколебания, — мультивибратор с одним RC- звеном (рис. 527)г). Как мы уже видели в § 8 гл. IV, модель мультивибратора, построенная при пренебрежении

х) Заметим, что коэффициент А зависит от кривизны линии F (х, у) = О в точках Bk. В частности, когда радиусы кривизны этой линии во всех точках Bk стремятся к нулю, т. е. линия F стремится к линии с изломами в точках Bkt коэффициент А —- 0 и поправка на период становится величиной порядка

pin— (см., например, § 5 гл. VIII).

г) См. также § 8 гл. IV, § 12 гл. V и § 5 гл. VIII, 772

РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

[гл. X

всеми паразитными параметрами, оказалась «вырожденной», «дефектной» в том смысле, что она без дополнительных предположений (без постулата скачка) не позволяла проследить за колебаниями мультивибратора, не объясняла даже качественных особенностей колебаний мультивибратора. Это произошло из-за того, что среди
Предыдущая << 1 .. 276 277 278 279 280 281 < 282 > 283 284 285 286 287 288 .. 335 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed