Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Андронов А.А. -> "Теория колебаний " -> 272

Теория колебаний - Андронов А.А.

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М.: Физ-мат литература, 1959. — 916 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyakolebaniy1959.pdf
Предыдущая << 1 .. 266 267 268 269 270 271 < 272 > 273 274 275 276 277 278 .. 335 >> Следующая


745

ражена на рис. 516 пунктиром). В этом случае характеристическое уравнение получается третьей степени и имеет вид:

VCaLaRg -j- [La (1 - SRg) + CaRaRg] +

+ >. [Ra (1 - SRg) + Rg) + -L = о

(здесь учтено, что СЙ<С). Условие устойчивости состояния равновесия при малых La и Ca запишется в виде:

Ra (1 - SRg) + Rg > О и La (1 - SRg) + CaRaRg > 0.

Следовательно, самовозбуждение схемы опять возможно и при R

\ <^SRs<^\— , именно, если паразитная индуктивность La

" Ra

достаточно велика:

I \ CaRaRg г>2

a^ SRg- ^atx-

Заметим, что при обычных значениях параметров мультивибратора (Caсл> 10 пкф, Raс/з 103 -г- IO4 ом) величина CaRia^ 10 -f- IO3 микрогенри, т. е. значительно больше обычно встречающихся паразитных !індуктивностей анодной цепи. Поэтому такой мультивибратор будет

п

возбуждаться только при SRg 1 -j--J •

S

Заметим в заключение параграфа, что в том случае, когда под влиянием какого-либо малого параметра состояние равновесия системы является неустойчивым, скорость ухода системы из этого кажущегося устойчивым состояния в двух возможных случаях совершенно различна. Именно, в первом случае (практически наиболее интересном), когда малый параметр входит коэффициентом при старшей производной, новый корень характеристического уравнения Ал+1 = O0

=-----, т. е. величина корня, а значит и скорость ухода системы

P-

от состояния равновесия, тем больше, чем меньше параметр |j. (в пределе при |j. ->_j_o получаем уход мгновенным скачком).

Наоборот, во втором случае, когда малый параметр входит коэффициентом при интеграле, уход системы от состояния равновесия происходит медленным, «ползущим» движением (скорость ухода тем меньше, .чем меньше параметр |j,).

§ 3. Малые паразитные параметры и разрывные колебания

Все сказанное ранее относительно роли малых (паразитных) параметров в тех. или иных колебательных системах можно перевести на язык фазовых представлений. Во всякой реальной системе, учитывая все новые и новые паразитные параметры, мы будем вводить 746

РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

[гл. X

все большее и большее число степеней свободы данной системы. Вместе с тем все большим и большим становится число измерений фазового пространства, в котором мы сможем отображать поведение рассматриваемой системы (точнее, ее упрощенной динамической модели). Но так как при этом быстро возрастает и сложность математического. рассмотрения поставленной задачи, то при изучении всякой колебательной системы мы не можем неограниченно вводить в рассмотрение эти новые степени свободы и должны ограничиться некоторым, обычно небольшим, числом независимых переменных, характеризующих состояние системы, выбирая их и связи между ними (уравнения) так, чтобы отобразить (качественно и в какой-то мере количественно) колебательные процессы в системе. Таким образом, при рассмотрении колебательной системы как дискретной мы считаем, что она обладает конечным, обычно небольшим, числом степеней свободы и, следовательно, ее состояния могут быть отображены в некотором фазовом пространстве с небольшим числом измерений.

Пусть движение динамической модели, полученной для рассматриваемой колебательной системы при учете некоторых малых (паразитных) параметров, отображается системой дифференциальных уравнений я-го порядка:

№ = Fi (Xi,..., Xs; уи... ,yni), ^

yj=Oj (xu...,xs\ уі,...,уп>) j

(i=l, 2.....s; 7=1, 2,..., n'\ n = n'-\-s), или в сокращенной

(векторной) форме:

[л* = F (х-у), у = Q (х; у), (10.15)

где р.—малый положительный параметр, обращающийся в нуль вместе с учтенными паразитными параметрами системы'). Положив [1 = 0, т. е. пренебрегая этими паразитными параметрами, мы придем к еще более упрощенной динамической модели (порядка и'):

F(x-,y) = 0, y = Q(x-,y), (10.16)

множество состояний которой составляет образ с меньшим числом измерений п'(п'<^п) и соответствует в «полном» фазовом пространстве х,у некоторому подпространству F, определяемому уравнением:

F (х- у) = 0.

1J Мы рассматриваем наиболее интересный случай, когда при учете новых малых (паразитных) параметров эти параметры появляются в уравнениях движения системы в виде малых коэффициентов при старших производных. Именно с этим случаем мы будем иметь дело при изучении систем, совершающих разрывные колебания.

Ниже мы будем считать функции F(x;y) и G(x\y) ограниченными и дифференцируемыми во всей интересующей нас области изменения переменных X, у. Функции FwQ могут, вообще говоря, зависеть и от (і, тогда мы будем полагать, что они стремятся к конечным пределам при f* + 0. § 3] МАЛЫЕ ПАРАЗИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 747

Очевидно, вопрос о том, являются ли учтенные малые паразитные параметры существенными для процессов в данной колебательной системе, иначе говоря, вопрос о том, можно ли изучать процессы в системе, пренебрегая этими параметрами, на языке фазовых представлений может быть сформулирован следующим образом.

В каких случаях движение изображающей точки системы (10.15) (в «полном» я-мерном фазовом пространстве х, у) при достаточно малых значениях положительного параметра р., т. е. при достаточно малых значениях учтенных паразитных параметров, и в течение интересующих нас интервалов времени (обычно при 0<^<^-f-oo) будет происходить в малой окрестности подпространства F и, следовательно, может быть удовлетворительно заменено движением изображающей точки в пределах самого подпространства F—образа с меньшим (п') числом измерений?
Предыдущая << 1 .. 266 267 268 269 270 271 < 272 > 273 274 275 276 277 278 .. 335 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed