Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
1. Разбиение «полного» фазового пространства на траектории. Для ответа на поставленный вопрос рассмотрим в общих чертах разбиение «полного» фазового пространства х, у на траектории системы (10.15) при достаточно малых значениях положительного параметра р. [61]. Прежде всего рассмотрим область фазового пространства, которая лежит вне малой О (р.а)-окрестности подпространства F(0<^a<^l), стягивающейся к F при p,->-[-0 *). В этой области
I F(x-, у) I^O(ра) и 1^1^0(,^1);
поэто.му в ней при достаточно малых р. имеют место «быстрые» движения изображающей точки, — тем более быстрые, чем меньше значение |л, т. е. чем меньше значения паразитных параметров (при р,->-[-0 х->-оо); эта область в дальнейшем будет называться областью «быстрых» движений 2). Так как в области «быстрых» движений у = G (х\ у) остаются ограниченными при р, -»--[- О, а
dyj_ dxi
— Ij-
Gj У) У)
;0(|л.'~а)->0 при |л,->-[-0,
то при быстрых изменениях переменных X на конечные величины (за малые промежутки времени M ^ О (|J.1-a)) переменные у
1J Под О [g (|х)]-окрестностью подпространства F мы будем понимать множество всех точек, расстояния которых до подпространства F не превышают некоторой величины порядка g (fx); в рассматриваемом случае g (}>¦) — = Iia (0<а<1).
г) Областью «быстрых» движений является также и область, лежащая вне малой О (|х In — )-окрестности подпространства F, так как в области вне
такой окрестности | F (х-, у)\^о(\>- In —) и | х | ^ О (in —) — со при ц —<¦ + 0. 748
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
изменяются лишь на малые величины порядка не более т. е. фазовые траектории в области «быстрых» движений (траектории «быстрых» движений) лежат вблизи s-мерных подпространств:
у = const.
Поэтому при достаточно малых [л мы можем с некоторой степенью точности рассматривать движения изображающей точки в этой области (за малые интервалы времени Ы =? 0(^1"0)) как мгновенные скачки, при которых переменные х изменяются «быстро», скачкообразно, а переменные у остаются неизменными. Соответственно, приближенные (но тем более точные, чем меньше (J.) дифференциальные уравнения движения системы в области «быстрых» движений можно записать в следующем виде:
у = const, x = — F (л-; У). (10.17)
f1
Таким образом, уравнения упрощенной модели (10.16), составленные при пренебрежении паразитными параметрами, здесь заведомо не пригодны для описания поведения системы. Эти уравнения (10.16) могут отображать законы движения системы (конечно, приближенно при достаточно малых \х) только в пределах малой О (;л)-окрестности и'-мерного подпространства F, где | F (л*; у) J =? О (jj,) и где, следовательно, скорости изменения состояния системы (т. е. и лг, и у) остаются конечными при сколь угодно малых >л (при [л -j- 0).
2. Условие несущественности малых (паразитных) параметров. В зависимости от того, как идут фазовые траектории «быстрых» движений вблизи и'-мерного подпространства F, возможны два основных случая.
А) Прежде всего возможно, что все траектории «быстрых» движений идут (при возрастании t) внутрь некоторой малой окрестности подпространства F. Тогда изображающая точка, помещенная в начальный момент времени внутрь этой окрестности, будет в дальнейшем двигаться в ее пределах, т. е. вблизи и'-мерного подпространства F, поскольку нет траекторий, выходящих из этой окрестности. При этом движение изображающей точки будет сравнительно медленным (с ограниченными при [л—>-|-0 скоростями X и у) и будет подчиняться (с некоторой степенью точности, но тем точнее, чем меньше ;л) уравнениям (10.16) [119, 42]; эти движения изображающей точки, для которых Jc и у остаются ограниченными в течение конечных (не стремящихся k нулю) интервалов времени при [л 0, будем называть ниже ради краткости «медленными», а малую 0([л)-окрестность подпространства F, в которой они имеют место, областью «медленных» движений (в противоположность области «быстрых» движений). Таким образом, паразитные параметры, учтенные при составлении «полных» уравнений (10.15), в этом случае не явля- § 3] МАЛЫЕ ПАРАЗИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 749
ются существенными для процессов в рассматриваемой системе, начинающихся из состояний, совместных с уравнениями (10.16), при условии, конечно, что эти параметры достаточно малы.
Если же в начальный момент времени изображающая точка не находилась вблизи подпространства F, то она по соответствующей траектории «быстрого» движения придет внутрь области «медленных» движений и в дальнейшем будет двигаться в этой области. Иначе говоря, упрощенные уравнения (10.16), составленные при пренебрежении паразитными параметрами системы, вступят в силу по прошествии некоторого малого интервала времени At. Длительность этого интервала времени, очевидно, будет тем меньше, чем меньше начальное расстояние изображающей точки от подпространства F и чем меньше значение параметра р. (т. е. чем меньше паразитные параметры системы), причем
Ai+Опри р.—»+0 (можно показать [42], что At ^ О (р In—V В этом слу-
P11
чае мы можем совсем отказаться от детального рассмотрения «быстрых» движений системы на начальном зтапе с помощью уравнений (10.15) или приближенных уравнений (10.17) и постулировать, что представляющая точка и начальный момент времени сразу, скачком переходит в соответствующую точку и'-мерного подпространства F. Такой подход особенно целесообразен, если условия неизменности переменных у при скачке переменных X позволяют однозначно определить место, куда должна прийти изображающая точка в результате скачка. Если же последнее не выполняется, то для определения конечной точки скачка (по заданной начальной) требуется, по крайней мере, качественное рассмотрение хода фазовых траекторий «быстрых» движений (хотя бы при помощи приближенных дифференциальных уравнений (10.17)) или же привлечение дополнительных соображений.
