Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Андронов А.А. -> "Теория колебаний " -> 280

Теория колебаний - Андронов А.А.

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М.: Физ-мат литература, 1959. — 916 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyakolebaniy1959.pdf
Предыдущая << 1 .. 274 275 276 277 278 279 < 280 > 281 282 283 284 285 286 .. 335 >> Следующая


Первый этап доказательства сформулированной теоремы, существенной для теории разрывных колебаний в системах второго порядка, будет состоять, как и в § 5 гл. ViII, в построении по заданному достаточно малому замкнутой двусвязной области (є) со сле-

дующими свойствами: 1) в области (г) нет состояний равновесия системы (10.15а); 2) разрывный предельный цикл C0 лежит внутри этой области, причем область (г) стягивается к C0 при (х -[- 0, и 3) траектории системы (10.15а) при заданном значении параметра [X входят (при возрастании t) в область (є). Очевидно, эта область (согласно теореме V § 2 гл. VI) будет содержать внутри себя по крайней мере один устойчивый предельный цикл системы уравнений (10. 15а) при заданном значении параметра ;х.

Прежде всего выделим на плоскости х, у некоторую ограниченную односвязную замкнутую область D, которая содержит внутри себя разрывный предельный цикл C0 и в которой функции F(x, у), 0(х, у) и их производные (до нужного нам порядка) непрерывны и, следовательно, ограничены. Ниже мы будем полагать ;х выбранным настолько малым, чтобы строящаяся нами область (є) лежала целиком внутри области D.

Для построения области (є) проведем на плсскости х, у (в области D) линии

JO= + Vp Om и F(x, у)= — j/jT Gm,

где Gm — наибольшее абсолютное значение функции G(x, у) в области Dt и притом такие, что в (открытой) области (а), заключенной между ними и содержащей линию F(x, у) = 0,

JOK /[Г Gm, а в остальной части области D

JOlSs /[7 Qm і).

') Эта теорема для частного вида уравнений (10.15а) (для G(x, у) = х, F(x, y) = G(x) — y) доказана в [196].

•) Заметим, что линия F(х, у) = + VjT Gm лежит слева от участков «медленных» движений AftBk разрывного предельного цикла C0, а линия F (х, у) = — Ур Gm- справа от них, так как на участках AkBk F(x, у) = О и Ґх (х, у) с 0. § 4] РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

765

Проведем также линии

FAx* У) F'Ах, у)

± УI* .

на которых угловой коэффициент касательной к кривой Z7(JC1Jz) = = Const обращается в ± V Iі и которые выделяют в области (а) такие (открытые) области (?fc), заключенные между ними и содержащие точки Bk, что в областях (?ft)

Fj (X, у)



и в остальной части области (а)

f'x (х, У)

Fv (х,у)



Линии с указанными свойствами можно построить (по крайней мере в пределах области D), выбрав достаточно малое значение параметра |х. При этом область (а) будет лежать внутри некоторой О ( ]/|j. )-окрестности линии Z7(JC1V) = O, а области (?fc) — внутри некоторых О (у |J. )-окрестностей точек Bk'). Отметим, наконец, точки Pk и Qk — точки пересечения (в О ("J/V ^-окрестностях точек Bk) линии FAx,у) = — у> \F'y(x,y)\, являющейся одной из границ областей (?fc), с линиями F(x,у) = ^m, причем точкой Pk мы будем называть ту из двух точек пересечения, которая имеет меньшую ординату, если О(.г,_у)^>0 на отрезке AkBk, и большую ординату, если G(jc,_y)<^0 на том же отрезке.

Построение границ области (s) в малой О (j/p. )-окрестности участка ВкАшВк+1 разрывного предельного цикла мы проведем сначала для случая, изображенного на рис. 525, когда G(jc,_y)^>0 на отрезках AkBk и А/мЛВы и Z7(JC1Jz)^=-O на интервале ВЬАШ (затем мы укажем, как это построение проводится в других случаях).

*) Мы пользуемся здесь следующей простой леммой: пусть в некоторой ограниченной области А имеется линия Ф (х, у) = 0, в точках которой существуют непрерывные производные Фс и Фу, не обращающиеся одновременно в нуль; тогда имеется такое положительное число S0, что при любом 0 < 8 80: 1) в области А существуют линии Ф (х, у) = + 5 и Ф(х,у) = — 8, лежащие в некоторой О (5)-окрестности линии Ф (х, у) = 0, и 2) в открытой области, заключенной между этими линиями и содержащей линию Ф (х, у) == О, |Ф (х, _у)| < <8, а в остальной части области А ]Ф (х, д>)| Эг 8. Очевидно, функции F(.x,y)

Fг (х, у)

в области D и —-- в области (а) удовлетворяют условиям этой леммы.

Fy (х,у) 766

РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

[гл. X

1) Проведем горизонтальный прямолинейный отрезок PkPk ИЗ точки Pk в точку Pk, лежащую на линии F(x,y) = -\- j/p. Gm в области F'Ax,y)>0 и в О І ^-окрестности точки Bk Так как в точке Bk функция G (аг, у) О и непрерывна, а отрезок PkPk лежит в некоторой

О ([X 4)-окрестности этой точки, то путем выбора достаточно малого значения параметра р, мы всегда сможем добиться, чтобы на построенном отрезке PkPk функция G(j<r,_y) была также положительной. Тогда при выбранном достаточно малом (л траектории системы (10.15а), пересекающие этот отрезок, будут проходить через него снизу вверх (у 0 на отрезке PkPk)-

2) Проведем отрезок прямой P'kP'k с угловым коэффициентом — |/(Л И отрезок прямой QkQk с угловым коэффициентом -j- V^fi из точек P'k и Qk вправо до пересечения с левой границей области (а) в О (]/рГ)-окрестности точки Ak+i- Если р. выбрать достаточно малым, то оба отрезка будут лежать вне области (а); поэтому на них

F (х,у) Ss V^ Gm Ss /Г |G (X,у)\

') Такая точка P'k существует в О ^f*4 J -окрестности точки Bk, так как в точке BkFxxJ^ 0. Действительно, разложим функцию F = F(x,y) в степенной ряд в окрестности точки Bk (x*k, у*ку.
Предыдущая << 1 .. 274 275 276 277 278 279 < 280 > 281 282 283 284 285 286 .. 335 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed