Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
отброшенных малых паразитных параметров имеются существенные для колебательных процессов в мультивибраторе. К числу таких существенных параметров относятся малые паразитные емкости Ca и Cgl всегда имеющиеся в реальной схеме (это малые паразитные емкости монтажа и внутриламповые емкости).
1. Уравнения колебаний. Составим уравнения колебаний мультивибратора, учитывая эти малые паразитные емкости (но считая, что Ca-^C и Cg-^C)1). Пренебрегая сеточными токами и анодной реакцией, считая характеристику ламповой группы ia = ia(u) (рис. 528) заданной, мы получим на основании законов Кирхгофа: Ea-
Ra
Рис. 528.
(U + V) г dv і r d(u + v)
dt
'а («)>
C^r = 1-
dt
Rs
- + C1
du
s~dT
(10.25)
Очевидно, мультивибратор имеет единственное состояние равновесия:
и = Eg, V = V0 = Ea-RJa (Eg) — Eg.
Введем для упрощения выкладок новые, безразмерные переменные х, у, ^hob, связанные со старыми переменными и, v, t соотношениями:
u = Eg-\-uux-, V = H0 + O-U0X -f- $u0y-, tHOa = T0t,
где гг0, T0 — некоторые масштабы напряжения и времени, а и ? — некоторые коэффициенты. Подставляя новые переменные во второе уравнение (10.25), получим:
Ul0 X + Vll0 Z?X-y = U0X + H0AT
I о I о ' о
(точкой сверху обозначено дифференцирование по новому, безразмерному времени), или, выбрав
имеем:
а = -'- и VCRg=Tfl,
у =X.
*) Для построения «доброкачественной» модели мультивибратора, позволяющей рассмотреть (и качественно, и количественно) колебания мультивибратора, достаточно, вообще говоря, учесть хотя бы одну из этих паразитных емкостей,§ 5] мультивибратор с одним RC-3behom 773
Аналогично первое уравнение (10.25) в новых переменных запишется в виде:
*д(С + Са) (OiusiX + р«„ у) + ihx =
і 0 iO
= — U0X — Hi0X — ?«0 У —Ra [la (Eg -[- и0аг) — Ia (?г)]
или
= [l + % + + ?¦)]-[la 0? + "0^) - Ia {Eg)\.
Выбрав
и, следовательно,
T0 = (С + Ca) Ra + (С + Cg) Rg,
мы приведем уравнения (10.25) к виду, характерному для систем с разрывными колебаниями:
^ = F{x, у) = -х-у-К.1(х), 1
у =х, )
где
Cq j Cq ^
„ _ Яа С ^ Cs
г —
[1+% + f (1 + ?]2
— малый положительный, параметр, характеризующий малость паразитных емкостей (при Ca < С и Cg < С параметр |а<;1),
SRa
K =
, cS (, с-
— коэффициент передачи схемы, 5 — абсолютная величина крутизны характеристики ламповой группы в состоянии равновесия:
S = -(^L)
\ du Ju=Eg
?(*) = — ['« 0? + ".*) - la (Eg)]
U0S
— приведенная, безразмерная характеристика ламповой группы (очевидно, ср' (аг) < 0, ср (0) = 0, ср' (0) = — 1). При Ca < С и Cg < С переменные а:= -u——L и ут V-yO пропорциональны соответственно774
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
переменным составляющим напряжения и на сетке левого триода и напряжения v на конденсаторе С;
^ ^^ Ra С_С д- ^^ SRa .
Rg [ 1 I ^a 1 8 1 ^a
V+Rjl
масштаб времени
T9 ъ С (RaRg).
Заметим также, что масштаб напряжений н0 остался произвольным; его можно выбрать так, чтобы упростить выражение для cp(jc).
Ниже для упрощения рассмотрения мы будем рассматривать только симметричный случай, т. е. будем считать характеристику ламповой группы ia = ia(u) и сеточное смещение Eg такими, что приведенная характеристика ср (.*:) является нечетной функцией х (ср (— х) = — <р (jc)), причем I ср' (jc) | монотонно убывает при увеличении рс| (тогда — 1 sg ср' (jc) ^ 0).
2. Фазовая плоскость х, у при ц, -j- 0. Скачки напряжения и. Рассмотрим разбиение фазовой плоскости jc, у на траектории для случая малого [а, точнее, для предельного случая р. —> 0. Прежде всего выделим на фазовой плоскости кривую F:
F (X, у) = — X — у — К ¦ ? (х) = 0
или
у '== — X — К • ср (х), (10.27)
которая является фазовой линией «вырожденной» модели мультивибратора (т. е. модели с Ca=Cg = 0 или с [A = O). Из уравнений „(10.26) следует, что при [л —> -j- 0 фазовая скорость jc остается конечной только в малой О (^-окрестности линии F и что вне малой окрестности этой кривой (с размерами, например, порядка "KjST) имеют место «быстрые» движения изображающей точки (при [а ->_[-() jc —- оо под кривой F и X —» — со над ней), в то время как у = х всюду остается конечной. Вследствие этого фазовые траектории «быстрых» движений близки к горизонтальным прямым' у= const, т. е. при «скачках» сеточного напряжения и напряжение v на конденсаторе С можно считать неизменным. Приближенное уравнение «быстрого» движения («скачка») изображающей точки по траектории, близкой к прямой у =у° = const, мы получим из первого уравнения (10.26), заменив в нем у на приближенное значение
IAX=-J0-JC-Ar-Cp(JC). (10.28)
В зависимости от величины коэффициента передачи К возможны два случая.
При 1«ЛМУЛЬТИВИБРАТОР с одним RC-ЗВЕНОМ
775
на всей фазовой линии «вырожденной» системы, поэтому все траектории «быстрых» движений идут к этой линии F (рис. 529, а). Следовательно, если начальное состояние мультивибратора отображалось точкой в малой окрестности кривой F, то изображающая точка будет в дальнейшем двигаться, не выходя из этой окрестности (точнее, вблизи линии F) 1X Соответственно колебания мультивибратора при К<^ 1 и достаточно малом значении параметра [а (т. е. при Ca < С и Cg < С) отображаются (тем более точно,чем меньше (а) уравнением «медленных» движений, которое получается при пренебрежении паразитными емкостями или, иначе говоря, подстановкой уравнения фазовой линии F модели первого порядка (с (а = 0) — уравнения (10.27) — во второе уравнение (10.26):