Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Il +/Tcpf(X)] * + х = 0. (10.29)
В этом случае (т. е. при Ar<М) малые паразитные емкости, если они действительно малы, не играют существенной роли в колебательных процессах мультивибратора и ими можно пренебречь. Очевидно, при любых начальных условиях устанавливается состояние равновесия х = 0, _у = 0 (или u = Eg, v = va), так как при /C-O 1 + АУ(х)^>0 для всех л: и, следовательно, согласно уравнению (10.29) Х-+-0 при t —> —|— оо.
Иная картина получается при 1. В этом случае, как
нетрудно видеть, состояние равновесия (0, 0) неустойчиво как при учете паразитных параметров (при р.^>0), так и при пренебрежении ими (при Ji = O). Теперь на фазовой линии F «вырожденной» модели имеется отрезок —x'sgxsg + x' (х'>0 — единственный корень уравнения 1 + АУ(х) = 0), на котором условие несущественности малых паразитных емкостей не выполняется: на этом отрезке
¦57 = -1 -W(X)^O.
') Если же начальное состояние мультивибратора отображалось точкой вне малой окрестности кривой F, то изображающая точка, совершив «скачок» по соответствующей траектории «быстрого» движения в малую окрестность линии F, в дальнейшем будет двигаться вблизи фазовой линии F. В пределе, при (а —<• -f- 0, это «медленное» движение будет происходить по самой линии F.
Рис. 529. 776
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
Фазовые траектории «быстрых» движений отходят от этого отрезка фазовой линии «вырожденной системы», содержащего, между прочим, и состояние равновесия (0, 0) (рис. 529, б). Таким образом, при малых паразитных емкостях (при или, точнее, в пределе
при |і-> -[- 0) мультивибратор уходит «скачком» из всех состояний с |аг| sg аг', причем при «скачке» скачкообразно изменяется переменное аг, т. е. напряжение и на сетке левого триода, при неизменном значении переменного у, т. е. при неизменном напряжении v на конденсаторе С мультивибратора. Так из динамики модели мультивибратора, построенной при учете сколь угодно малых паразитных емкостей Ca и Ca, существенных для колебательных процессов в мультивибраторе (при 1), получается постулат скачка, использованный нами в § 8 гл. IV.
Как нетрудно видеть, все траектории «быстрых» движений идут в малые окрестности тех частей F+ фазовой линии F «вырожденной» модели, на которых выполняется условие несущественности паразитных емкостей:
т. е. к участкам кривой F: |ат|^>ат', имеющим отрицательный наклон Только в малых 0([х)-окрестностях этих участков имеют место «медленные» (с конечными скоростями изменения AT при Ц —V +О) движения изображающей точки вблизи линии F, подчиняющиеся приближенно (но тем точнее, чем меньше (ji) уравнению (10.29). В пределе, при ц -> —[-0, эти траектории «медленных» движений стремятся к рассматриваемым участкам линии F с |аг|^>аг'. Таким образом получается разбиение фазовой плоскости мультивибратора на траектории, изображенное на рис. 529, б для предельного случая р. -> -[-0. К этому разбиению близки разбиения фазовой плоскости на траектории при достаточно малых ц.
Так как на участках кривой Fc |аг|^>аг' 1-f-/Сср'(аг)^> О, то там |ат| с течением времени уменьшается, и изображающая точка в силу динамики «вырожденной» модели (в силу уравнения (10.29)) придет в одну из точек Л и ли Л' (с at = 4h at', у = ± у" = rh [-i^-H A'cp(jc')]), откуда «скачком» по траектории «быстрого» движения^ = const «перепрыгнет» соответственно в точку В (—аг", у°) или в точку В' (лг",-У),
после чего снова начнется «медленное» движение и т. д. Для нахождения концевой точки скачка в рассматриваемой нами задаче нет необходимости прибегать к исследованию уравнения «быстрых» движений (10.28), — она однозначно определяется по начальной точке «скачка»
.) На линии F (лг, у) = 0 f'x + Fty (-g-) ^ ^ = 0, т. е. (-g-) - ¦ = + F'x в силу F1y=-L
F=O § 5] МУЛЬТИВИБРАТОР С ОДНИМ RC-3BEHOM
777
условием неизменности значения переменной у (т. е. напряжения v iia конденсаторе С) во время скачка, что дает в силу (10.27) следующее уравнение для определения абсцисс концевых точек скачка: at' -j- К • ср (Ar") = — {аг' -f- /Сер' (аг')}. (10.30)
Очевидно, замкнутая кривая АВА'В'А (рис. 529, б) является предельным циклом, устанавливающимся при любых начальных условиях.
У
\F(x.y)*0
Рис. 530.
Этот предельный цикл и является математическим образом «разрывных» автоколебаний мультивибратора, при которых «медленные» движения (с конечными скоростями изменения сеточного напряжения и или аг) периодически чередуются с «быстрыми», «скачкообразными» (сх-усо при [X —>- —0). Можно показать, что при малых jj. на фазовой плоскости также существует предельный цикл (рис. 530), близкий к циклу АВА'В'А, т. е. стягивающийся к нему при JJ- —>—[— 0 (см. предыдущий параграф). Осцилло- -граммы колебаний переменных аг и у, соответствующих фазовой траектории, начинающейся в точке Л0 (рис. 529, б), качественно изображены на рис. 531: колебания переменной аг, т. е. сеточного напряжения и, носят «разрывный» характер; колебания переменной у, т. е. напряжения V на конденсаторе С, непрерывны и имеют «пилообразную» форму.
