Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
di
I-.
:<Р("). Ldt +K = Ea-
U.
На траекториях Ff и Fi ~ Ф 0, ф 0 (там нет состояний
равновесия), причем на Ff -—-^>0, а на Fi -jf^^'i поэтому изображающая точка, двигаясь по траектории Ff (по траектории Fi), обязательно придет через конечный интервал времени в точку В
1) Точнее, фазовые траектории «медленных» изменений состояний системы лежат в малой окрестности линий Ffm и F^ и стремятся к последним при Ca -»- + 0. Сами линии F+ и F^ являются при Саф0 изоклинами вертикальных касательных, 792
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
(в точку D), откуда по соответствующей траектории скачка Z = Const ^перескочит» в точку С траектории Fi (в точку А траектории Ff).
Таким образом, мы приходим к выводу, что на фазовой плоскости существует предельный цикл ABCDA, в который переходят все траектории системы. Соответственно в схеме при любых начальных условиях устанавливаются автоколебания, при которых в отличие от і схемы с неоновой лампой разрывный характер имеют колебания напряжения и, а колебания силы тока і имеют «пилообразную» форму (рис. 547) 1). Наибольшие размахи колебаний силы тока и напряжения, очевидно, равны соответственно /д — — Ia = I1—/а и Uc — Ua. Период автоколебаний T слагается из дли-I тельностей интервалов времени движения изображающей точки по участкам AB и CD траекторий «мед-и Fi (длительностью скачков от В к С и от D к. А мы пренебрегаем) и, как нетрудно видеть, равен Ub Ud
T-I Г f'(u)du , , С j (и) du
J Ea-U-R4(U)T1' J Ea-U-R9(U) uA uC
(интегралы, стоящие в этом выражении, легко вычисляются, например, в том случае, когда характеристика тетрода аппроксимируется кусочно-линейной функцией).
§ 8. Схема Фрюгауфа
Рассмотрим теперь схему релаксационного генератора, предложенную Фрюгауфом [155, 142]. В этой схеме (рис. 548) существенную роль играет то обстоятельство, что сами лампы образуют участки замкнутых цепей и что поэтому нужно принимать во внимание рас-
Рис. 547. ленных» движений Ff
х) Эта картина является общей для всех электрических релаксационных систем, приводящих при пренебрежении паразитными параметрами к одному дифференциальному уравнению первого порядка: если вольт-амперная характеристика і = <р (и) нелинейного элемента схемы имеет «/V-образную» форму (типа изображенного на рис. 546), то в схеме при разрывных колебаниях будут скачки напряжения и, а сила тока і будет изменяться непрерывно. Наоборот, в случае <S-o6pa3Hoft» характеристики / = <р(и) нелинейного элемента, аналогичной характеристике неоновой лампы, непрерывно будет изменяться напряжение и, а колебания силы тока будут иметь разрывный характер. § 8] СХЕМА ФРЮГАУФА
793
пределение напряжений между лампами и сопротивлениями R. Это сведется к тому, что мы должны будем учитывать анодную реакцию, которая в этой схеме играет принципиальную роль. Поэтому мы при рассмотрении схемы Фрюгауфа будем считать, что анодный ток есть функция не только сеточного, но и анодного напряжения. Именно, мы будем полагать, что анодный ток лампы является однозначной и монотонно возрастающей функцией так называемого «управляющего» напряжения ггупр = Ug -)- Dua:
L=Zi-Ue jT Dltal где D — проницаемость лампы — величина, обратная ( коэффициенту усиления лампы (D<1). Кроме того, ниже мы будем полагать эту функцию такой,что обратная ей функция
Ut+ Dua= U (Ia)
является также однозначной.
1. «Вырожденная» модель. Пренебрегая всеми паразитными параметрами (в частности, паразитными емкостями) и сеточными токами и считая лампы идентичными, мы получим следующую систему уравнений, описывающих колебания в схеме:
«'el = / ("gl + Dual)> iCi = / (HgS + Dltai)>
С —— і ¦ ^df- ta2
- Rial, Ug і =
Рис. 548.
Ч'і ¦
— la\' :— ?'al'
'al
lgb-
+ »
¦gl'
где ugi, Ugi, uax, Uai—соответственно сеточные и анодные напряжения на лампах Jlx и Jli (отсчитываемые относительно катодов этих ламп).
Введем безразмерные токи:
і--'al н ,,_ 1а»
х — —г~ и У—
'о Io
¦ ток насыщения или какой-либо другой масштаб силы тока.
где Iti-Тогда
где
'al'
"gl = Ri,
= — Rloy, ¦H-O + jy
D
<аї ¦
-Ri tx,
¦ DI ФОР + *
¦ R'0 —o
•Иг):
Rio
U(ItiZ) 794 разрывные колебания [гл. x
— безразмерная (обратная) характеристика лампы, дающая зависимость
безразмерного управляющего напряжения us +PUa от безразмерного
Rl о
анодного тока ; напряжение на конденсаторе С
' о
— = (10.35)
D
dt
используя (10.35) и разрешая относительно производных, имеем:
dy D х_у I1lnl .,.,.і (lu^b)
dt
где
Д ix,у) = [D + f ix)] [D + <1/ (j;)] - 1. (10.36a)
Из полученных уравнений видно, что мы имеем дело с системой первого порядка (с системой с J/a степени свободы), поскольку переменные X и у связаны между собой в силу (10.35) соотношением
Ф ІХ,у) == ф (X) 4- ф О) + (1 + D) ix + у) = -??-, (10.37)
а уравнения (10.36) эквивалентны друг другу (одно из них является следствием другого и соотношения (10.37)).
В силу трудности исключения у или X и полной равноправности переменных X и у мы будем отображать колебания системы движением изображающей точки по фазовой линии Ф:
