Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Период автоколебаний (при jj. ближенное значение при малых
T V \
I ,
I- *
А Y
г~ , У •К1 і і і і і
\ /\ А-
\ / \ / 4^
Рис. 531.
> 4-0 или, иначе говоря, его при-[J.) мы, очевидно, получим, если вычислим времена пробега изображающей точки по участкам В'А 778
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
и BA' «медленного» движения на предельном цикле (длительностью скачков мы пренебрегаем). На траекториях «медленных» движе^ ний Z7+
dt„=- '+«*'¦W dx.
нов X
поэтому период автоколебаний (он равен в рассматриваемом симметричном случае удвоенному времени движения изображающей точки по участку В'А)
т = 2 Xfj±±m*ldx
X1
в единицах безразмерного времени, или
х"
T=T9- T = 2 С {Ra+Rg) j l+MW-dx
х<
в обычных единицах.
Вычислим период автоколебаний мультивибратора, взяв некоторые конкретные выражения для характеристики ламповой группы.
Т\
Zu, б)
Рис. 532.
Для кусочно-линейной характеристики ламповой группы (рис. 532,а)
-[- 1 при аг<[—1, ?(•*) = { — при I Jf |< 1, и <р'(х): — 1 при 1
О при I аг|^> 1, — 1 при I АГ| 1,
если выбрать за масштаб напряжения и0 половину «длины» падающего участка характеристики. В силу этого Arf=I '), х' = 2К—1 и в согласии с результатами § 8 гл. IV и § 5 гл. VIII4) период ав-
') В случае кусочно-линейной характеристики начальными точками скачков изображающей точки после медленных движений являются точки излома характеристики аг = ± 1, так как условие несущественности паразитных емкостей не выполняется при всех I X I < 1 (там Fx=K— 1 >0) и выполняется только при I X I > 1, где f\= — 1 <0.
а) Это выражение является старшим членом в асимптотическом разложении периода автоколебаний, полученного в п. 6 § 5 гл. VIII; см. (8.60). § 5] мультивибратор с одним RC-3behom 779
токолебаний
T = 2C(Ra-\- Rg) In (2К — 1).
Для характеристики, аппроксимируемой полиномом третьей степени (рис. 532, б), имеем:
= + y и <?' (х) = Xi- 1,
если под масштабом K0 понимать половину разности напряжений, при которых крутизна характеристики обращается в нуль. Абсциссы начальных точек скачков при разрывных автоколебаниях найдем из уравнения
!+/C(Xs-I) = O, т.е. x'=jf-
K- 1
К ¦
Тогда согласно (10.26) абсциссы концевых точек скачков ±х* определятся уравнением
=4(*-Dl/^
к— 1 к
которое, как нетрудно убедиться, имеет единственное действитель-
ное решение для х":
Поэтому
х"
T=2j [fr* — K~l jcuc = (3 — 2 In 2) (К— 1)^1,6 (К- 1)
Xі
Тъ 1,6 C(Ra^Rs)(K-I)1).
Вычислим, наконец, период автоколебаний мультивибратора для характеристики, падающий участок которой представлен полиномом третьей степени (рис. 532, в), — для характеристики, принятой нами в § 12 гл. V при рассмотрении колебаний генератора с двухзвенной /?С-цепочкой и мультивибратора с одним /?С-звеном. Для этой характеристики, если взять в качестве масштаба напряжения и0 половину
') А. А. Дородницыным [52] было получено асимптотическое разложение для периода автоколебаний мультивибратора при кубической характеристике, которое в наших обозначениях записывается в виде:
1 2
з" з И (л 1
т = 1,614 (Af-I)+ T1OU(Af-I) л (X3 —t-j- In ^
ix (22
{— In(AC-I) - 0,087J + ...
AC-I
Полученное сейчас выражение т«г 1,6(Ar-I) является старшим членом в этом разложении. 780 РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. X
«длины» падающего участка характеристики, имеем:
. 2
+ "з при лг<— 1,
,лг' . .___ ,, ч (О при
— Jf +-5- ПРИ H^si. tP(Jr)=M о , ,
nS w 1 1 yw \jc2 — 1 при И<1;
2
—g- при jc зэ= 1;
= 1 (как и в предыдущем примере), a jc" определяется
jc
уравнением
х" — ^-К= — {х'-{-К?(х')} = ~(/( — 1) Y
л--g А = — -г (л Jt — Y ^ — чу —
Т. е.
Тогда
і
К
)
In *
К- 1
T=C(Ra-Rg){l -(К-\)
In
К
К— 1
§ 6. Механические разрывные колебания
Рассмотрим механические колебания, которые могут при известных условиях совершать тела, испытывающие большое трение, но обладающие малой массой [69], Для конкретности будем считать, что речь идет о тормозном устройстве, схематически изображенном на рис. 533 9). Для этого устройства имеем следующее уравнение движения: Jif = — k(f -j- M (Q — to)
') Мы предполагали здесь, что х" > 1; это выполняется, как нетрудно видеть, при /<">4/3. Если же 1<АГ<4/3, то при автоколебаниях мультивибратора ламповая группа будет работать только на падающем участке характеристики, вследствие чего период автоколебаний будет выражаться формулой, полученной в предыдущем примере.
2) Заметим, что это устройство представляет собой (конечно, сильно
схематизированную) модель обычных тормозных устройств и зажима Прони,
применяемого для измерения мощности. Поэтому все сказанное ниже отно-
сительно колебаний в такой системе, по-видимому, может служить упрощен-
ной теорией вибрации тормозов и колебаний зажима Прони, часто наблюдаемых
на практике. 16] МЕХАНИЧЕСКИЕ РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
781
или эквивалентную систему двух уравнений первого порядка:
