Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
? iP
Рис. 537.
Рис. 538.
некоторым (пусть малым, но конечным) моментом инерции, в результате чего «скачки» происходят не с бесконечно большими, а с очень большими, но конечными ускорениями. Поэтому при J фО фазовые траектории «быстрых» изменений скорости не будут прямолинейными, а должны несколько изогнуться. Однако при достаточно малом моменте инерции и больших моментах упругой силы и силы
трения изгиб этот практически совершенно не заметен. Но характер процесса существенно изменяется при увеличении момента инерции колодки. На рис. 537 и 538 изображены полученные экспериментально кривые колебаний колодки с разными моментами инерции. Форма кривых при увеличении момента инерции колодки получается все более и более близкой к форме гармонических колебаний, и «релаксационный маятник» превращается в маятник Фроуда — в автоколебательную систему, близкую к гармоническому осциллятору. Картина на фазовой плоскости (рис. 539), построенная по осциллограмме колебаний колодки с большим моментом инерции (рис. 538), значительно отличается от разбиения этой плоскости на траектории в предельном случае У—)—[— 0 (рис. 535). Наличие значительного момента инерции колодки сгладило скачки скорости.
F(<p,w)-0
Рис. 539.
§ 7. Два генератора электрических разрывных колебаний
Хорошими электрическими аналогами только что рассмотренной механической релаксационной системы являются простейшие генераторы электрических разрывных (релаксационных) колебаний: схема с неоновой лампой (или с вольтовой дугой) и динатронный генератор. § 7] ДВА ГЕНЕРАТОРА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ РАЗРЫВНЫХ КОЛЕБАНИЙ 787
1. Схема с неоновой лампой. Разрывные колебания в этой схеме (рис. 540) мы уже рассматривали в § 6 гл. IV (п. 2), пользуясь постулатом скачка силы тока, т. е. считая, что при зажигании и гашении неоновой лампы сила тока через нее изменяется скачком при неизменном напряжении на лампе (или, что то же самое, на конден- ч L
саторе С). Этот постулат скачка не являлся следствием использованной гам модели первого порядка (не являлся следствием уравнения (4.30)), а был получен, исходя из дополнительных физических соображений относительно ограниченности токов и напряжений в схеме.
Мы рассмотрим теперь кратко ту же схему, учитывая существенные паразитные параметры (но считая их достаточно малыми), и получим, в частности, «скачки» силы тока через неоновую лампу при «неизменном» напряжении на конденсаторе С как следствие динамики системы. Учитывая малую паразитную индуктивность L цепи неоновой лампы, изображенную пунктиром на рис. 540 *), получим следующие
уравнения колебаний в схеме с неоновой лампой:
—VMAr- '-.-i^
_ + и /?
с
Рис. 540.
du
Е~и
dt di_ dt'
R
¦ II — V,
¦ cP \v)>
(10.33)
K Vj Рис. 541.
где tp (в) — функция, отображающая зависимость силы тока і через неоновую лампу от напряжения г> на ней, — уравнение статической характеристики лампы; обратную функцию, уже однозначную для горящей неоновой лампы, мы обозначим через г> = ф (')• Как известно, характеристика неоновой лампы (она изображена на рис. 541) имеет падающий участок (при 0<^г<^А)- Ниже мы будем предполагать, что состояние равновесия (и0, /0) рассматриваемой нами схемы, определяемое соотношениями:
E— у , . u = v, і = —= <р(®), .
') Среди малых паразитных параметров, существенных для процессов в схеме, наряду с паразитной индуктивностью монтажа следует отметить также и инерционность газового разряда в неоновой лампе. Эту инерционность приближенно можно отобразить введением некоторой малой, «эквивалент- 788
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
единственно, лежит на этом падающем участке (рис. 541) и, следовательно, неустойчиво.
Характеристическое уравнение для этого состояния равновесия, как нетрудно видеть, имеет вид:
L CRli + [L + CR 6' (t„)] I + R +ф' (r„) = 0;
поэтому состояние равновесия («0, io), если оно лежит на падающем участке характеристики и единственно, т. е. если — R < ф1 (<0) < 0, неустойчиво при
Lc — CR i>' (io), что, очевидно, выполняется при достаточно малых L. Для того чтобы состояние равновесия было единственным и лежало на падающем участке, необходимо, чтобы EnR были достаточно большими (Е> Ka, R > ; подробнее об этом см. гл. IV, § 7, п. 2).
Построим предельное (для L -»--}- 0) разбиение фазовой плоскости и, і на траектории системы (10.33). Прежде всего проведем линию F:
F(u,i) = n — <К0 = О
— фазовую линию «вырожденной» модели (рис. 542) и выделим на ней участки Ff и -F+, на которых выполняется условие несущественности малой паразитной индуктивности L:
tf = -f OX о.
,di
D di Вне этой линии -j--dt
di
слева от нее -j--*-dt
со при L -> -{- 0 (справа от линии ^ ^ jT °°>
du
-оо) при ограниченных ^-.Поэтому область фазовой плоскости вне линии F является при L-*- -{-0 областью «скачкообразных» изменений состояний системы и заполнена вертикальными прямолинейными траекториями скачков силы тока —: траекториями и = Const, идущими из бесконечности и от участка линии F, соответствующего падающему участку характеристики неоновой лампы, к линиям Ff и Ff. Иначе говоря, в области вне линий Ff и Ff имеют место скачки силы тока і через неоновую лампу при неизменном напряжении и на конденсаторе С (соответственно при достаточно малых L в этой области имеют место весьма быстрые изменения силы тока і при почти неизменном напряжении и, так как фазовые траектории этих быстрых изменений состояний близки при малых L к прямым и = const). «Медленные» изменения состояний с конечными при L-*--{-0 скоростями изменения силы тока I и на-
