Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
ср = ш, Ум = — ky-\- M (Q — ш), (10.31)
где ср — угол поворота тормозной колодки (относительно положения, в котором момент силы пружин равен нулю), J—момент инерции тормозной колодки, k — коэффициент упругости системы, Q — угловая скорость вала (мы будем полагать ниже, что 2 = const) и M (Q— ш) — функция, выражающая зависимость момента силы сухого трения от относительной скорости Q — и) (рис. 534).
Рис. 533. Рис. 534.
Строго говоря, момент сил трения M является функцией не только относительной скорости 2 — ш, но и угла ср; именно, при Q-ш = 0
I M0 при кср>М0, M = j k(f при I Acp I Sg M0, ( -M0 при Acр< —M0,
где M0 — максимальная величина момента силы трения покоя (т. е. момент силы трения при отсутствии движения колодки относительно вала уравновешивает момент сил пружин — ?ср, если последний не превышает по абсолютной величине момент силы трения покоя M0). Ниже мы будем считать, что характеристика трения имеет падающие участки, где момент силы трения M убывает с увеличением относительной скорости Q — ш. Только при наличии в характеристике трения таких падающих участков мы сможем объяснить появление автоколебаний в рассматриваемой нами механической системе.
Рассматриваемая нами система имеет единственное состояние равновесия:
tP = tPo. и> = 0,
причем угол ср0 при равновесии, очевидно, определяется условием
ACP0 = M(Q).
Это состояние равновесия неустойчиво (система самовозбуждается и в ней будут устанавливаться автоколебания), если
M (Q) < 0 782
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
(см. также § 6 гл. I); это условие мы будем считать в дальнейшем выполненным. Если —M (9) и нелинейность характеристики
трения (в интересующем нас интервале скоростей) невелика, то автоколебания системы будут близки к синусоидальным (их можно рассчитать, пользуясь методами Ван-дер-Поля или Пуанкаре, изложенными в предыдущей главе).
Мы рассмотрим сейчас другой предельный случай, когда тормозная колодка имеет малый момент инерции
вследствие чего, как мы увидим, автоколебания будут релаксационными, т. е. сильно отличающимися от синусоидальных. В этом случае колебательный процесс отчетливо распадается на два чередующихся и существенно различающихся друг от друга типа движений.
1) В состояниях, в которых момент- силы пружин уравновешен (или почти уравновешен) моментом силы трения, система будет иметь сравнительно небольшие ускорения со, несмотря на малый момент инерции У, что приведет при движениях через эти состояния к сравнительно медленным изменениям скорости си. В этой области член Jm мал:
У|ш|</г|ср|^|М(2—со)|,
и им можно пренебречь. Поэтому эти состояния, в которых cu изменяется сравнительно медленно, изображаются на фазовой плоскости ср, ш точками, лежащими в малой окрестности линии F:
F (ср, cu) = — ?ср M (9 — си) = О,
являющейся, очевидно, фазовой линией «вырожденной» системы (с J= 0); эта окрестность стягивается к F, когда J уменьшается, стремясь к нулю.
2) В состояниях, в которых моменты силы трения и силы пружин не уравновешивают друг друга, ускорения ш очень велики, поскольку момент инерции колодки J достаточно мал. Этим состояниям, в которых скорость си изменяется очень быстро, на фазовой плоскости ср, си соответствуют точки, лежащие вне некоторой малой окрестности той же линии F, также стягивающейся к F при J-+-\-0. В этой области быстрых изменений скорости си при У——[— 0 ей -> оо (ей -)--(- со слева от линии F и си ->- — оо справа от нее), в то время как сами скорости ср=ю остаются конечными. В этой области
dy__/ш Q
—— k<f +M (O — а)
при У—>- —|— 0, т. е. она будет заполнена фазовыми траекториями, близкими к вертикальным прямым ср = const, по которым изображающая точка будет двигаться «скачком» (с і—»-оо при У-*--|~0). 16]
МЕХАНИЧЕСКИЕ РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
783
В соответствии с этим мы получаем разбиение фазовой плоскости на траектории для предельного случая J-> -j- 0, изображенное на рис. 535. Вся плоскость вне линии F заполнена вертикальными прямолинейными фазовыми траекториями ы «бесконечных» ускорений, которые идут из бесконечности и от участков линии F, на которых
Fi = -M' (Q — ш)>0
Ч
г
и которые, следовательно, соответствуют падающим участкам характеристики трения, к остальным участкам F+ линии F, изображенным на рис. 535 жирными линиями. Последние, очевидно, представляют собой предельное положение фазовых траекторий «конечных» ускорений (т. е. сравнительно медленных изменений скорости ш). Только на этих участках F+ фазовой линии F «вырожденной» системы малый момент инерции J, которым обладает реальная система, не является существенным для ее движения, т. е. движение системы может описано «вырожденными» уравнениями:
— /е<р -f- M (Q — со) = 0, с
A0
W
В
\
Рис. 535.
быть приближенно = 0). • (10.32)
Если положить J = 0, т. е. считать уравнения (10.32) применимыми всегда, то мы получим «дефектную» модель первого порядка с фазовой линией F, содержащей точки стыка фазовых траекторий (точки В, D, D' на рис. 535). Эти точки не являются состояниями равновесия, а, с другой стороны, на линии F нет фазовых траекторий системы (10.32), выходящих из этих точек. Таким образом, пользуясь этой моделью, мы не сможем проследить за движением системы. Исправление этой «дефектной» модели может быть сделано или путем фактического учета малого (или даже сколь угодно малого) момента инерции тормозной колодки или же путем введения дополнительного, соответствующим образом сформулированного постулата скачка изображающей точки из точек стыка фазовых траекторий.
