Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
26
Гл. 2. Математический аппарат
- F(k), -оо <1Я оо, лежит внутри D. Если функция К (Я) может быть
представлена в виде
ОО
F(X) = F(cо)+ J f(t)eat dt,
- оо
где f(t)?L(-оо, оо), то тем же свойством обладает и Ф^Я)] [32, 82].
§ 4. Аналитические функции
Перечислим несколько теорем, полезных при исследовании функций
экспоненциального порядка внутри сектора.
Введем индикаторную функцию h(ср) следующим образом:
A(<p) = sup /¦-Чп|/(лй'ч>)|.
Г->оо
Теорема 12. Пусть f(z) - аналитическая функция в секторе |ф|-^а. Тогда,
если /г(ср) существует, то
h (фО sin (ф2 - ф3) + h (ф2) sin (ф3 - ф^ +
+ h (ф3) sin (ф! - ф2) = О, где |фИ, 1фа 1, |фз|<Ц. ф1<ф2<фз (см. [12]).
Теорема 13 (теорема Карлсона). Пусть f(z) - аналитическая функция при
|argz| < я/2, и пусть
Л (ф) < ^ | sin ф [, В< я,
/ (N) - О, 1, 2, 3.....
тогда f(z)= 0. При В = я теорема перестает выполняться [например, для
f(z) =sin я z] [12].
Теорема 14 (теорема Монтеля). Пусть f(z) - аналитическая функция,
ограниченная в секторе
- б < arg z < а+б, и пусть
lim f(rela) = a, lim f(r) = b,
Г-> uC Г->СО
тогда
a = b и lim f(z) = a
§ 5. Интегральные уравнения
27
при стремлении к пределу вдоль любой линии внутри сектора [12].
Теорема 15 (теорема Хартога). Пусть функция /("i, z2) определена в
области D двух комплексных переменных Zi и z2, и пусть f(zi, z2) обладает
тем свойством, что в каждой точке (z^ z2) из D функция f(zi,z2) является
аналитической относительно Zi в окрестности zt и функция f(zuz2) является
аналитической относительно z2 в окрестности г2. В этом случае f{zi,z2)
является аналитической функцией относительно Zi, z2 в D [14].
Теорема 16. Если функция f{zi,z2) является аналитической функцией Zi и z2
вблизи точки Zi,_z2 и f(21, z2)=0 и если df/дгфО при z^ = zv и z2=z2, то
уравнение f(zi, z2)=0 имеет единственное решение zi = w(z2), принимающее
значение zu при z2=z2 и аналитическое в окрестности zlf z2 [14].
§ 5. Интегральные уравнения
Мы рассмотрим здесь главным образом уравнения типа Фредгольма, оставив
обсуждение уравнений Вольтерра в основном тексте. Обычное уравнение
Фредгольма
ь
f (*) = g (х) -Ь Л J К (х, у) f (у) dy (2.3)
а
можно записать в операторной форме 0-л K)f=g,
где f, g- векторы, а К-оператор в банаховом пространстве ЗВ. Оператор К
называется вполне непрерывным, если он переводит каждую ограниченную
последовательность векторов в компактную последовательность, т. е. если
бесконечная последовательность fn ?i?, л= 1, ..., оо, при !/"!< с
отображается в последовательность g", содержащую сильно
28
Гл. 2. Математический аппарат
сходящуюся бесконечную подпоследовательность gn, п € Q (Q -
подпоследовательность целых чисел). Это означает, что существует такое g,
что
inf - ^"|=0.
Л->0О
Основное содержание так называемой альтернативы Фредгольма состоит в
следующем [90]:
Теорема 17. Если К - вполне непрерывный оператор, то либо однородное
уравнение АК f-f имеет решение, либо неоднородное уравнение А/С /= =/ - g
имеет единственное решение и, в частности, f=0 при g=0.
Частными случаями вполне непрерывных операторов являются:
а) Ядра конечного ранга
П
К (х, у) = 2 ф, (х) ф, (у), ф, ? Я, фг 6 Sty
где ЗВ*- пространство, дуальное <&.
б) Ядра Гильберта - Шмидта, т. е. ядра, для которых
Ь ь
11^11=//|К(х, y)\'2dxdy < оо.
а а
Такие ядра рассматриваются только в гильбертовых пространствах.
в) Ядра К, представляющие собой предел сильно сходящейся
последовательности вполне непрерывных операторов Кп> т. е.
Hm II К- Кп || = 0.
Я->оо
Формальное решение Фредгольма уравнения (2.3) задается равенством
ь
f(x)=g{x)~1-А | Ка (х, y)g{y)dy,
§ 5. Интегральные уравнения
29
где
К(х 1, Ух) ¦ • К(хи Уп)
К(хп, Ух) • К(ХП' Уп)
00
dWKbfx, J)=^) + S(-D'4rX
Я"1
х frfsx--. !<ъ*к(х'
а а \ У* ^1" ¦ • •" ?л /
оо
^(Л)=1 + 2(-1)я4гХ
п-1
XjdljdlnKI11' "-'1п) = ^АЧп>
а а \ Ь1" • • •" Ья / я=0
/xlt .... Х-я
\ f/l> • • Ч Уп
Если /С - ядро Гильберта - Шмидта, то указанное решение сходится при
любом конечном комплексном Л. Это утверждение очевидно, если (а, Ь) -
конечный интервал и \К(х, у) \ < Н (Н - постоянная), так как
I dn\<^-Hn{b-af.
В общем случае Смифис [95] нашел оценку сверху для детерминанта d{Л) в
виде некоторой функции II/(||. Вводя след
ь
т(АГ) = J> (х, х) dx,
а
получаем формулы
d{A) = e~K Т<*>6(Л),
со
й(А)=2Л\, 60=1,
/1 = О
(2.4)
где бп формально получается из dn при замене всех диагональных элементов
в соответствующих детерми-
30
Гл. 2. Математический аппарат
нантах нулями. При этом мы имеем весьма полезную оценку
1М"+!+. (2.5)
Аналогичную факторизацию можно выполнить и для ядра резольвенты КА (х,
у), но она нам в дальнейшем не потребуется.
Из оценки (2.5) вытекает, что итерационное разложение б (Л) всюду
сходится И ЧТО при II/(II ->-0
6 = 1 + 0(11/С11).
Детерминант d(A) инвариантен относительно преобразования подобия
d{A, [/С]) = flf(Л, [А~ХКА]).
ГЛАВА 3
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ПРИ х=0
§ 1. Интегральное уравнение для регулярного решения
