Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
sup | е ] < -п lim \ е~2Ь^~хЫу = -^~ , Ь< 0.
* оо Х-±- СО J ^ I 0 I
Однако 11 может быть сделано сколь угодно малым, что и подтверждает
(4.14).
§ 4. Аналогия между граничными условиями при Х = 0 и х ~ со
Имеет место интересная аналогия между свойствами f(X,k,x),
рассматриваемыми соответственно как функции X, k и k, X, Эта аналогия
отражена в табл. 1, .
X
lim f е2**<*-*>[] -f o(\)\dy - трт- -f- lim e,
l*^co J
//
X
§ 4. Аналогия между граничными условиями
49
Таблица 1
Свойства решения Ч> <*., *, х) граничное условие при jr=0 / (К к, х)
граничное условие при х=оо
Целая функция относи- Я2
тельно
Область аналитич- ности Re X > 0, в общем случае ? Re Я > - при 1ш
?<0, в общем случае . , т Im к < при
1 V (х) | < Сх~2+е I V(x) \ < Се~тх
Вронскиан W [ф (Я, к, х), Ф (- Я, к, х)] = -2Я W [/ (Я, к, х), . /
(Я, - к, л:)] = 2ik
Эрмито-вость [при вещественном V (л)] [ф (Я, к, лс)]* = = ф (Я*, к*, х)
[/(Я, к, AT)j* = = /(Я*, -к*, х)
То, что указанный параллелизм не является случайным, сразу видно, если
ввести в (3.6) новые переменные, определенные следующим образом:
х - е~ р, Ф = tyeP12.
При этом (3.6) принимает вид
_ №Ф = е-2(, (у _ ?2) ф (4Л5)
Если приравнять ф=<р(Я, k, х), то граничным условием для Ф будет
lim ^рФ(р) = 1.
р-> со
Очевидно, что это условие совпадает с граничным условием для /('/г, -iК
р) при потенциале
e~2p[V {e~p) - k2\,
4 За". J8
50 Гл. 4. Решения с граничными условиями на бесконечности
т. е. для S-волн '). Следовательно,
ф(р) = /(4> -л.р)
и
Ф [Л,, k, е~р; V (е~р)] =
= e~p*f(±, -Д, р; e-*p[V{e-p)-k?\). (4.16)
В формуле (4.16) мы явно выписали в аргументе зависимость от потенциала.
Приведенная формула позволяет быстро выводить свойства ф (А,, лг) из
свойств f(k, р) (в частности, аналитичность при к = 0 сразу следует из
аналитических свойств относительно k). Можно, очевидно, вывести свойства
f(k,k,x) как функции k или к, исходя из свойств ф (k,k,x) как функции к и
k, не рассматривая еще одно интегральное уравнение. Мы не воспользовались
таким более кратким выводом, поскольку при этом пришлось бы отказаться от
физической интерпретации аналитических свойств.
§ 5. Качественное обсуждение
Проведем дополнительное обсуждение аналитических свойств ф(Л, k, х) и
f(k, k, х), основываясь на более интуитивных соображениях. Для краткости
мы будем говорить здесь только о f(k, k, х), но все сказанное полностью
применимо и для ф(Я,, k, х).
Рассмотрим асимптотическое поведение некоторого решения (3.6) при больших
х\ оно имеет вид
ф ~ ae-ikx-\-$eiix. (4.17)
ЛГ->оо
При вещественном k формула (4.17) имеет простой физический смысл: она
представляет собой суперпозицию сходящихся и расходящихся сферических
волн с амплитудами аир. При не слишком больших х потенциал изменяет эти
волны, но его воздей-
') То обстоятельство, что переменная р в (4.16) изменяется в интервале -
со < р <оо, несущественно, поскольку значение <p(X, k, х) при х-с зависит
только от значений потенциала в интервале ()<•*<с, или т-1пс<р<оо.
§ 5. Качественное обсуждение
51
ствие экспоненциально убывает как ехр (-тх), где т определяется (4.6). Мы
можем, конечно, отойти настолько далеко, что изменение ехр(-ikx) [в
частности, exp (-ikx-тх)] будет значительно меньше ехр (ikx). При этом
условии можно говорить о функции f(X, k, х) как о решении, представляющем
при &>0 только сходящиеся волны (р = 0). Если, однако, k комплексно и,
например, Imk = b <0, то сходящиеся волны при х-+ оо экспоненциально
затухают, а член с расходящимися волнами неограниченно возрастает, Тем не
менее можно определить функцию f(X,k,x) как затухающую волну, поскольку
включение в нее любой сколь угодно малой расходящейся волны может быть
установлено при достаточно больших х. Нельзя, однако, определить таким
образом чисто расходящуюся волну, поскольку к ней, не изменяя
асимптотического поведения, всегда можно добавить затухающую волну. Это
соответствует тому обстоятельству, что при b <0 просто построить
f(k,k,x), но не f(k,-k, х). Если b > 0, то ситуация становится,
естественно, обратной. Указанную трудность можно преодолеть следующим
образом. Определим f{%,-k,x) при b < 0 так, чтобы можно было пренебречь
[f(X,-k, х) -exp {ikx)] по сравнению с f(k,k,x) или ехр(-ikx). Это имеет
смысл, если изменение -k, х), вызываемое влиянием V(x), меньше f(k,k,x),
что равносильно тому, что V(x)f(k,-k,x) ведет себя как экспонента,
убывающая быстрее, чем f(k, k, х). Сравнивая соответствующие экспоненты,
видим, что это имеет место при \Ь\<т/2; полученное неравенство в точности
совпадает с результатом строгого рассмотрения 5).
*) Указанный вывод, например при hnk=b < 0, можно пояснить следующим
образом. Чтобы иметь возможность отделить с помощью асимптотического
предела добавок сходящейся волны к расходящейся волне, необходимо
выполнение следующего неравенства, вытекающего из вида уравнения
Шредингера:
| k2 (5 ехр [г (Re k) х - bx] ] > | V (х) а exp [ - I (Re k)x-\- bx\. Оно
