Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
V (X)=12 (-1 у (2/+1) *('+?•*• *) ¦
1=о
Это разложение представляет решение уравнения
(1.2), переходящее при У(х)=0 в (5.31). При больших х функция Y(x) имеет
следующее асимптотическое поведение [см. (5.23)]:
СО
V (х) ~ ± ^ <-!)- (21+ |) g Х
1=0
X т(А,, A)sin|&x + 6 - =
ОО
= ^ ((2/ + 1) Pt (cos Ф) е1Ь k) sin {kx + 6 - I j.
1=0
Учитывая равенство
el6 sin (fex + 6 - - sin^x - ^|r) +
+ 2/e
с помощью (5.32) получаем, что при х->оо
Jkx ^
У (х) ~ е!к * + 2j (2l+ 1) ¦pi (cos #) \еШ Л) - 1].
/г=0
Сравнение с (5.29) показывает, что
оо
F(k, cos "-) = -27^- 2 (2/-Ь !) [^2га(Х* - iJ^Ccos ^) =
ы о
оо
= 2(2/.+ 1)а(я-' Л) (c°s "¦)- (5.33) 1=0
Эта классическая формула особенно важна потому, что с ее помощью
трехмерная задача сводится к одномерной. Выражение вида (5.33) было
впервые
§ 5. Асимптотическое поведение f (X, k)
65
использовано Релеем [87] (см. также [33]). В дальнейшем мы будем называть
(5.33) разложением амплитуды рассеяния по парциальным волнам.
§ 5. Асимптотическое поведение / (X, k) для заданного X при больших
энергиях. Теорема Левинсона
Ответ на вопрос об асимптотическом поведении f(X, k) при больших энергиях
непосредственно следует для S-волн при 1т&<0 из (4.5) [для краткости
полагаем /(7г. k, x)=f(k, *)]:
I UU)|<C,(tm)^
где
СО ' 00
QW= J d\ < J11К(i)|d\<со.
A X
Полагая л: = 0, находим [для краткости /(1/2, k) = f(k)\
I / W - 11 < QI eCQ (0) - 11,
причем Q(0) стремится к нулю при больших [А|. Следовательно,
Игл/(-k)~\, 0<arg&<n. (5.34)
A-*UO
Предположим теперь, что /(-k) не имеет нулей при 1т?>0. Тогда ln/(-
k)=\i(k) является аналитической функцией при 1т/г>0, непрерывной на
вещественной оси и обращающейся в нуль при стремлении к бесконечности
вдоль любого направления G ^ arg k •<. я. Из (5.22) имеем
р (k) = In х (k) - /6 (k) + 2inn,
x{k) = x(-k), b(k) = - 6(-k).
При этом n мы выбрали таким, чтобы б(<х>)=0.
Согласно приведенным свойствам р(&), имеет место дисперсионное
соотношение между вещественной и мнимой частями \x(k), т. е. между \nx(k)
и 6(A). Это соотношение можно получить посредством
5 Зак. 18
66
Гл. 5. Функция Иоста и S-матрица
применения к р,(А')/(А'- А) теоремы Коши, причем в качестве контура
интегрирования возьмем стремящуюся к бесконечности полуокружность в
верхней полуплоскости. В результате имеем соотношения, позволяющие найти
/(А), зная только 6(A) (E=k2, а Р - символ главного значения),
1пт<*)-ip\^SrdE'.
О
со
b{k) = -VEP f 1
w я r J Е' - Е УЕ'
(5.35)
о
Если /(-А) имеет нули при Im k > 0, то вместо (5.35) следует написать
б iyw) E~kl
m
11 ~E
0 m=l
6 (A) = i-j/?P f l^(VW)dE^__l Yin -
W я v J Е'-Е УЕ' i k +
0 ' 01 = 1 1
где km (m- 1, ..p)- нули функции f(-А) при Im k > 0.
В этом случае функция 6(A) не останется более непрерывной при ImA = 0,
если по-прежнему 6(±оо) = 0. Действительно, из (5.36) получаем
lim 6 (А) = рл,
к-+0+
откуда следует теорема.
Теорема 6 (теорема Левинсона) [62] (см. также [51])
6(0+) - Ь(оо) = рл. (5.37)
Полезность этой теоремы станет ясной после прочтения гл. 7, где будет
показано, что каждый нуль /(-А) при Im А>0 соответствует связанному
состоянию.
При /(0)=0 формула (5.37) модифицируется [76],
(5.36)
-HL
ktn
6 (0) - 6 (со) = [р +1) я.
§ 6. Потенциалы, убывающие быстрее 'экспоненты
67
При ХФЧ2 из (4.5), (5.5), (5.17) аналогичным образом имеем
lim F(X,-k) = \. 0<arg?<rt, ReA.>0.
k ->oo
Однако в общем случае фаза 6(k), определенная соотношением (5.21), не
будет вещественной. Для физических значений А, формулы (5.35), (5.36)
сохраняются при замене f(k) на F(K, k) и имеет место обобщение (5.37)
6|(0+) - М°о) = /и*.
Если 1 и Ег(0)=0, то в предыдущей формуле р заменяется на р+1 [76].
§ 6. Потенциалы, убывающие быстрее экспоненты
К числу таких потенциалов мы относим те потенциалы, для которых функция
Q(x) из (4.5)
СО
Q(*)= J e">+M>i>dy
X
существует при любом Ь. В этом случае решения Иоста и функция Иоста имеют
только один кинематический разрез, начинающийся при k - О. Ограничимся
здесь рассмотрением только S-волн, так как для этого случая у нас уже
получены все необходимые соотношения.
Из изложенного выше следует, что f(k, х) и f(k) являются целыми функциями
k. Можно различать-следующие два случая:
а) существует такое R, что У(х)=0 при x>R\
б) такого R не существует.
В случае "а" можно ввести функцию g(k, х) = = ехр(ikx)f(k, х),
удовлетворяющую уравнению, которое вытекает из (5.3):
R
g(k, jc) = 1 -h 27* j [1 -еш(*-*)] V(у)g(k, у)dy,
5*
68
Гл. 5. Функция Иоста и S-матрица
Разложим g следующим образом:
оо
g(k, x)=%gn (k, X),
л*=0
где g0(k, л:)= 1 и
R
gn (Ь, х) = J [1 - еш <*-">] V(y)gn-1 (k, у) dy.
X
Имеем далее оценку
к
\V(y)\\gn-i(k>y)\e""-R)dyt
X
l*iС*,
где
R
Nr(x) = Q(R-x)1 \V(y)\dy.
X
Нетрудно доказать последовательно, что
Следовательно,
| g(k, х) - 11 < е2" l"-"i [eNR{x)n *' - 1].
Если теперь \k\ -*•<", то легко видеть, что при R>х функция g(k, х) имеет
экспоненциальный порядок (см. примечание к стр. 25) и относится к типу
