Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
л=0
оо
< &+'/* 2] = хР+Ъе* ^ Ч (3.23)
п=0
Очевидно, что каждый член итерационного разложения меньше
соответствующего члена разложения экспоненты и, следовательно, разложение
(3.16) всюду сходится. Таким образом мы доказали существование решения
уравнения (3.14) или, что то же, уравнения
(3.6) с принятыми граничными условиями (3.5).
36 Гл. 3. Решения с граничными условиями при х=0
Более того, поскольку каждый член итерационного разложения является
полиномом относительно к2, полное решение представляет собой равномерно
сходящийся ряд полиномов относительно k2 и, следовательно, в соответствии
с теоремой Пуанкаре является целой функцией к2 в каждой ограниченной
области комплексной &2-плоскости [мы не можем включить точку k2=oo,
поскольку Р(х) не будет при этом конечной, см. (3.19)]. Несколько более
трудоемкой является проверка того, что каждый член разложения при р > О
является также аналитической функцией X.
Из сказанного следует, что ф(1,, к, х) - аналитическая функция в прямом
произведении конечной области в ^-плоскости и области Re Х=р^ 0 в Л-пло-
скости.
б) В случае р < О начнем с того, что рассмотрим по отдельности
составляющие
Ф(1) (X, к, *) = /х-/8-/3 + /4* (3.24)
где
lA+Va
X
21(21 + 2)
Г 910.1 -Д+Уз /•
о о
(3.25)
Функция. ф(|) (X, k, х) и члены итерационного разложения при п>2 являются
полиномами относительно к2. Вид зависимости составляющих h, /2 и /4 от X
очевиден, чего нельзя сказать об /3, так как мы не можем более
использовать (3.15), а следовательно, и технику случая "а". Составляющую
IS(X) можно представить как преобразование Лапласа некоторой функции,
положив ? = е-0;
/3(Х)=^+- j e-W(e-o)e-2^dp. (3.26)
-In X
Интеграл (3.26) будет сходиться в Х-плоскости справа от вертикальной
линии р=ро- В соответствии с
(3.2) величина р0 отрицательна; это, к сожалению,
§ 1. Интегральное уравнение для регулярного решения 37
все, что в общем случае (не конкретизируя далее вид потенциала) можно о
ней сказать. Такая конкретит зация делалась в работах многих авторов [9,
38, 63, 66, 77, 86], которые, задаваясь детальной структурой V(x) при
малых х, расширяли область аналитично? сти в отрицательную р-плоскость.
Необходимость конкретизации связана с тем, что любое малое изменение V(x)
вызывает резкое изменение IS{X), а следовательно, и ф(А,, к, х) при
отрицательных X. Можно сказать, что функция ф(А,, k, х) неустойчива
относительно варьирования V(х) при отрицательных р. Пока еще не ясно,
играет ли область р<0 какую-либо роль, поскольку нет оснований считать,
что в теории поля потенциалы сохраняют смысл при малых расстояниях.
До сих пор мы оставляли в стороне точку А.=0, где (3.23) обладает на
первый взгляд сильной особенностью. Не представляет труда проследить, что
происхождение этой особенности обязано наличию множителя 2А, в
знаменателе (3.14) и связано с видом использованного неравенства (3.15),
очень грубого вблизи А,=0. Действительно, оценка сверху для ядра
уравнения (3.19) обращается в бесконечность, при А, = 0, в то время как
ядро уравнения стремится к конечному пределу. В гл. 4, § 4, мы покажем,
как обойти эту трудность и включить точку А, = 0 в область сходимости. В
последующем мы будем считать р9=-е/2 отрицательным и не равным нулю. Это
соответствует, грубо говоря, предположению, что V(x) при малых х->0
возрастает медленнее С/х2_е. Такое предположение необходимо для того,
чтобы пересечение областей аналитичности ф(А,, k, х) иф(-X,k,.x) не было
пустым. Подобное' пересечение будет по меньшей мере занимать полосу
|р|<е/2.
Приведем далее следующие формулы:
W\ф(А,, k, х), ф(- I, k, х)] =
= Ф(А,, k, х)ф'(-А,, к, х) -
- ф'(1, к, х)ф(-A,, k, х) = --2Х, (3.27) [ф (A,, k, х)]* = ф(Г, k\ х).
(3.28)
38 Гл. 3. Решения с граничными условиями при х=0
Формула (3.28) имеет место для потенциала, вещественного при х 0. Для
подтверждения (3.27) достаточно проверить эту формулу при малых х,
заменив ф(А, k, х) на поскольку, согласно теореме 3 гл. 2, вронскиан не
зависит от х.
§ 2. Дальнейшее исследование интегральных уравнений
Другое определение функции ф (Л,, k, х) состоит в следующем. Положим
вместо (3.7)
ф(А, k, Jt) = a(jr)<p0(A,, k, jc) -ф- p (лг) ф0 (-A, k, л:). Здесь
Фо (A, k, х) = [ф (A, k, х)\у до_о=-=
= 2xk-xr(X+\)xl2Jk(kx)
есть решение (3.6) при отсутствии потенциала, удовлетворяющее тем же
граничным условиям, что и ранее,
lim (A, k, .*;) = 1;
х + 0
здесь Jx(kx) - функция Бесселя первого рода [7].
С помощью процедуры, подобной использованной при выводе (3.14), приходим
к следующему интегральному уравнению:
ф(А, k, х) = ф0(А, k, д:) +
X
4-JG(A, k, х, у) V (у) ф (A, k, y)dy, (3.29) о
где
О (A, k, х, У) - ^ [фа (A, k, х) ф0 (- A,, k, у) -
- Фо (- A, k, л:)ф0(А, k, у)].
§ 2. Дальнейшее исследование интегральных уравнений 39
В приложении I для ядра G(X, k. х, у) при х>у, b = lmk, p = Rel, получено
следующее неравенство:
|Сг (Л, к, х, у) \ <
_ ./ у \ 1М- I + V2 / I Й Н */з
< Се\ь№~иМ I |- у |
