Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
должно иметь место при достаточно больших х(Р) и произвольном р. Это
неравенство справедливо при выполнении (4.6), если | b | < т/2. При b > 0
в указанном рассуждении сходящиеся и расходящиеся волны меняются местами.
- Прим. перев.
4*
52 Гл. 4. Решения с граничными условиями на бесконечности
Мартин [69, 70] показал, что в случае юкавских потенциалов при целом I
функция f(%, k, х) аналитическая во всей 6-плоскости с разрезом вдоль
мнимой оси. Соответствующие результаты будут обсуждаться в гл. 6.
§ 6. 5-волны
Перечислим ряд полезных лемм, которые непосредственно следуют из (4.5) и
(4.9) при А.= х/г (для
S-волн). Эти леммы могут быть также весьма просто выведены независимо
[32].
Лемма 1. Пусть
ОО
| x\V (x)\dx < М. о
Тогда при х>0 функция /('/г, К x)=f(k, х) является аналитической функцией
k при КО и непрерывной вдоль вещественной оси 6 = 0. Более того,
|f(k,
где К - положительная постоянная, а 6 < 0.
Лемма 2. При условиях леммы 1 имеем
- |&1 00
№ \V(y)\dy,
X
00
|f(k, x)-e~lkx\<Ke-v>'* Ji V(y)\ydy,
X
CO
\?f(k, x)+ike-lbx\<Ke-W* ||1/(у)|ф,
X
§ 6. S-волны
53
Приведем также аналогичные леммы для <р('/2, k, х) = у (k, х), хотя они и
относятся скорее к гл. 3.
Лемма 3. При условиях леммы 1 и при лг^О функция <p(fe, х) является целой
четной функцией k, удовлетворяющей неравенству
где b - lmk.
Лемма 5. При условиях леммы 1 и больших |&| имеют место оценки
причем эти асимптотические оценки равномерны при всех х > 0.
Возможность выяснения аналитических свойств f(X, k, х) вне области
lmk<m/2 для специальных классов потенциалов, в частности юкавских
потенциалов, будет обсуждаться в гл. 6. Следующая глава будет посвящена
основной для нашего изложения задаче определения асимптотических амплитуд
при потенциальном рассеянии. До сих пор мы не касались этого очень
важного для всего изложения вопроса, ограничиваясь исследованием волновых
функций, удовлетворяющих определенным граничным условиям, вне всякой
связи с их физическим смыслом.
где А - положительная постоянная. Лемма 4. Если
X
11 V(y)\dy = R(x) < оо, х>0,
о
то
f(k, х) = е-'кх-\- o(e~ibix), b< 0,
ГЛАВА 5 ФУНКЦИЯ ИОСТА И 5-МАТРИЦА
§ 1. Определение и формальные свойства функции Иоста
В предыдущих главах мы получили ряд решений уравнения (3.6) '
Г + 6*ф-^=^ф-1/(*)ф = 0. (5.1)
Эти решения, обозначенные ф(±А, k, х), /(A, ±k, х), не обязательно
одновременно существуют при любом выборе A, k¦ Область существования
определяется в общем случае следующими условиями:
±ReA!>0 для ф(±А, 6, л:), k конечно,
±1ш6<0 для /(А, ±6, х), А конечно,
а при выполнении неравенства (4.6) - условиями ±ReA>0 для ф(±А, 6,
х), k конечно,
1т6;=?±-|г для /(А,, ±6, х), А конечно.
Указанные области могут быть расширены при наложении дальнейших
ограничений на потенциалы. Из приведенных результатов ясно, что все
четыре решения могут быть определены одновременно, по крайней мере тогда,
когда k вещественно, а А чисто мнимо. Условие для k может быть
значительно ослаблено, если V (х) - юкавский потенциал. Более того, в
последнем случае эти решения определяются однозначно, если ввести
кинематический разрез.
Из теоремы 1 гл. 2 вытекает, что в области совместного существования
имеется линейное однород-
§ I. Определение и формальные свойства функции Иоста 55
ное соотношение между каждыми тремя решениями (5.1):
f(X, k, х) = Лф(Я, k, х)-\-Вф(-X, k, х),
f(X, -k, х) - Сц>(Х, k, х) + Лф(-X, k, х),
Ф(Я, k, x) - Ef(X, k, x) + Qf(X, -k, x),
ф(-X, k, x) - Hf(X, k, x)->rKf(X, -k, x).
Здесь А, В и т. д. - коэффициенты, зависящие от X, k, но не зависящие от
х. Для дальнейшего особенно важно развить достаточно удобный формализм
определения этих коэффициентов. Такой формализм следует из теоремы 3 гл.
2, согласно которой вронскиан каждой пары решений (5.1) не зависит от х.
В соответствии со сказанным введем функцию
f (X, k)=W(f, Ф) = f(K k, х)ф'(X, k, х)-
- f'(X, k, х)ф(Я, k, x); (5.3)
она называется функцией Иоста, поскольку незначш тельно отличается от
соответствующей функции, введенной им для S-волн [52]. Функция Иоста
может быть явно вычислена при К(х)=0:
/(*. *)1 к (,)=о=№ k) =
==2lj/r? Г(Х+ ^
Для дальнейшего удобно ввести нормированную функцию Иоста
<(r)-5)
которая равна единице при У(х)=0.
Можно было бы ввести также вронскиан от решений f(X, k, х) и f(X, -k, х),
но его значение (см. табл. 1) тривиально,
W[f(X, k, х), f(X, -k, x)] = 2ik. (5.6)
Поскольку вронскиан не зависит от х, вычисление
(5.6) можно легко произвести, подставив вместо функций f(X, ±k, х) их
асимптотические значения ехр(:р ikx) йрих->оо.
X
Гл. 5. Функция Иоста и S-матрица
Учитывая (5.3), (5.6) и (3.27), можно найти теперь все неизвестные
коэффициенты в уравнениях
(5.2). Взяв, например, вронскиан от первого из выражений (5.2) и функции
<р(-Я, k, х), с помощью
(5.3) и (3.27) получаем
- 2ХА = f(- Я, k). (5.7)
Аналогичным образом находим
2кВ = f (Я, k), -2ikE = f(k, - к),
- 2НС = f(-К -k), 2ikO = f(k, k),
2 W = f(X, - k), -2 ikH = -k), (5-8)
