Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
%,k,x).
Легко далее проверить, что
[/(Я, к, *)]* = /(Я*, -k\ х), (4.10)
если при вещественных х > 0 V (х) вещественно.
*) Оценка (4.9) основывается на неравенстве имеющем место при у>х (ср.
приложение I). - Прим, перев.
§ 2. Природа сингулярности при k=Q
45
§ 2. Природа сингулярности при k = О
Приведем две теоремы, позволяющие разъяснить источник возникновения
сингулярности в точке k = 0.
Теорема 1. Если У(л:) удовлетворяет (4.6) и Х = 1+г/2, где I - целое
число, то f(X,k,x) -аналитическая функция k в области Im k<m/2, исключая
кратный полюс порядка |Я|-'/г в точке & = 0.
Теорема 2. Если V(х) удовлетворяет условию
(4.6) и ХФ /-И/г, то f(X, k, х) не имеет никаких сингулярностей в области
Im &<m/2, кроме точки ветвления при k = 0.
Приведенные теоремы можно проверить уже на примере функции
f0(X, k, х) = e~lim(>'+,/2)яГ(kx).
Для однозначного определения f(X,k,x) введем разрез вдоль верхней мнимой
полуоси от k = 0 до k-im/2. В получившейся области Im?<m/2, кФ1^,
0^<от/2, функция f(X, k, х) однозначно определяется итерационным
разложением. Соответствующее значение будем называть главным значением
f(X, k, х).
Для выяснения характера сингулярности при ft = 0 мы должны обойти вокруг
& = 0 с переходом на другой лист римановой поверхности функции f(X,k,x).
Пусть у - путь, соединяющий k и -k, и пусть arg& = <p и arg(-?)=ф-Ьп, т.
е. обход ? = 0 производится против часовой стрелки. Потребуем также,
чтобы для всех k' ? у имело место Im k < m/2. Если f(X,k,x)-главное
значение функции от k, то ее значение при -k, полученное аналитическим
продолжением вдоль у. мы обозначим f(X, k exp in, x).
Приведенное обозначение -может быть очевидным образом обобщено, если
определить f(X, kexpinn,x) как аналитическое продолжение f{X, k,x) вдоль
пути, лежащего в области Im k' < m/2 и окружающего точку k=0 против
часовой стрелки с непрерывным изменением аргумента от <р до ф+mt. После
введения обозначений мы можем сформулировать сле-> дующую основную
теорему.
46 Гл. 4. Решения с граничными условиями на бесконечности
Теорема 3. Имеют место соотношения /(A,, ke2ln, x) - f(k, k, л:) + 2i cos
лА f (A, kein, x), f(k, kein!t, x) - f (A, kei(n~2)n, *) +
+ 2i cos яА f (к, ke'(n_1)", jc).
Второе соотношение является очевидным следствием первого и может быть из
него формально получено заменой k на ?expt(n - 2) п. Смысл теоремы
состоит в том, что характер точки ветвления при 4 = 0 и, следовательно,
разрез от 0 до im/2 не зависят от потенциала. Как легко проверить,
невозмущенное решение fo(k,k,x) (4.2) удовлетворяет этой теореме.
Для доказательства положим в интегральном уравнении (4.3) k = ib, 0 < b <
т/2. Как было отмечено, fo(k,k,x) удовлетворяет теореме 3. Рассмотрим
I.im/о(Я, ib-e, х) и lim/0(A, ib + e, *); при е -> 0 ?->¦0 ?->0 имеет
место
h0(k, ib, x) = f0(k, ib - e, x) - f0(k, ib + E, *) +
+ 2/ cos лА /0 (A, - ib, л;) = 0.
С другой стороны, используя очевидные обозначения, получаем
/(A, ib ± е, х) = f0(A, ib±E, jc) +
ОО
+ J В (к, ib, х, у) V (y)f(k, ib ± е, y)dy,
X
f(k, -ib, х) - fo(k, - ib, jc)-b
CO
+ J B(k, ib, x, у) V (y) f (A, - ib, y)dy.
X
Ядро В (A, k, x, у) является однозначной функцией k2 и одинаково в обоих
приведенных уравнениях. Составив функцию
A (A, ib, х) - {(к, ib - е, x) - f(k, ib-f-e, лг)-(-
-J- 2i cos лА / (A, - ib, x),
§ 3. Поведение общего решения при больших х
47
видим, что она удовлетворяет уравнению A (A,, ib, x) = h0(X, ib, х)-{-
ОО
+ J В(к, ib, X, у) V(у)h (A, ib, у)dy =
X
оо
•=/Я(А, х, у) V (у) h (A, ib, у) dy.
X
Получившееся однородное интегральное уравнение Вольтерра имеет
единственное решение h (A, ib, х) = = 0, что и доказывает теорему 3.
§ 3. Поведение общего решения при больших х
Если одновременно существуют ДА, А, х) и ДА, -А, х), то общее решение
волнового уравнения может быть представлено в виде
Ф(х) = аДА, k, x)-f р/(А, -k, х). (4.11)
Следует соответственно ожидать, что функция Ф(х) ограничена экспонентой
ехр|А|х. Однако (4.11) верно, только если /(А, ±А, х) существуют
одновременно, т. е. в области |6|<т/2. Доказательство указанного
неравенства вне этой области может быть дано, если учесть независимость
вронскиана
f(A, k, лг)Ф'(л:) - /'(A, k, х)Ф(л:) = 2/Ар = С (4.12)
от х. Соотношение (4.12) можно рассматривать как дифференциальное
уравнение для Ф с решением
Ф(х) = СЦХ, k, X)
н
При этом мы считаем, что Ь<0, т. е. ДА, k, х) всегда существует. Частный
выбор значения Н не изменяет асимптотического поведения Ф, поскольку он
только определяет долю, которую ДА, k, х) составляет в Ф. При Ъ<0 функция
ДА, k, х) убывает в соответствии с (4.7) экспоненциально. Если взять Н
настолько
48 Гл. 4. Решения с граничными условиями на бесконечности
большим, ЧТО
1
[*(*, Л. У))2 g(X, k, y) = f(X, k, y)elky,
то в пределе можно получить
lim Ф (а:) е~1кх = -^- = р.
(4.14)
Действительно, lim Ф (х) е~ikx =
X
Рассмотрим входящий в предыдущую формулу интеграл
Возьмем теперь Н настолько большим, чтобы о(1) <ri = const. Тогда
