Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Применим теперь идеи и методы, кратко изложенные в предыдущей главе, к
уравнению Шредингера ')
+ = (3.1)
Будем задавать граничные условия при х=0 и х=оо, которые однозначно
определят стандартные решения (3.1). Для этого, помимо требования, чтобы
V(x) была вещественной функцией, обращающейся в нуль на бесконечности,
необходимо наложить на нее некоторые дополнительные ограничения2).
Возьмем У(х) такой, чтобы
а) V(х) была почти всюду непрерывной,
оо
б) j\V(x)\dx = M(с) < ОО, (3.2)
С
с'
в) J л:| V (x)\dx = N{c') < оо.
о
При этом с и с' могут принимать произвольные значения (с', с>0).
*) Очевидно, что при J (х) =&5-V(х)-[1{1+\)!х2] точка х= со не будет
регулярной; это ведет к тому, что решения (3.1) имеют на бесконечности
осциллирующее или экспоненциальное поведение.
2) В дальнейшем мы ослабим эти ограничения и рассмотрим
случай сингулярных потенциалов, но вначале для облегчения
понимания эти ограничения целесообразно ввести. Отметим, что центробежный
барьер нарушает одно, а кулоновский потенциал -
другое из условий (3.2),
32 Гл. 3. Решения с граничными условиями при х-0
Перейдем теперь непосредственно к граничному
условию при х=0. Если х мало, то центробежный член много больше k2-V(x) и
в предварительном исследовании можно пренебречь этими слагаемыми в (3.1).
В результате получаем укороченное уравнение
Для этого уравнения точка х=0 является регулярной; точное решение (3.3)
имеет вид
Из рассмотрения (3.4) следует, что целесообразно ввести два
фундаментальных решения полного уравнения (3.1), ведущих себя при х->0
как
соответственно. Далее вместо I удобно ввести А,= = /+Vг, после чего
уравнение (3.1) переходит в уравнение
ф"(х) + [^-^^-1/(х)]ф(лг) = 0, (3.6)
четное относительно X. При замене к на -X решения <р и <pi меняются
местами. При этом вместо <р(х) и фДх) формально более удобно обозначить
фундаментальные решения через ср(А,, k, х) и ф(-X, k, х); в дальнейшем
будет считаться, что величина X принимает произвольные комплексные
значения.
Пока мы еще не привели доказательства существования решения ф(Х, k, х).
Для этого нужно записать
(3.6) вместе с граничным условием (3.5) в виде интегрального уравнения.
Положим
ф(А,, k, лг) = а(лг)л:>-+,/г-)-р(л:)л:_х+|А, (3.7)
ф" (л:) - 1 Ф (•*) = 0.
(3.3)
ф(л;) = ахг+14-рх_/.
(3.4)
Ф(х) - л;г+1[1 -|-О (л;)] и Ф!(х) = х-г[1 +0(x)l
(3.5)
где аир уже не являются постоянными. Наложим, далее, дополнительное
условие
а' {х)хк^ + ^' {х)х~К+11' = 0, (3.8)
§ 1. Интегральное уравнение для регулярного решения 33
так что
ф'(Я, k, л;) = (яа (х) **•-'/' - (я - у) р(л:) лг*-'/", Ф"(Я, к, *) =-
^.(я*-±)ф(Я, к, *) +
+ (Я +1) а' (л:) jfi-Ч. - (я -1) р' {х)х^~\ (3.9) и подставим (3.7) и
(3.9) в (3.6):
(я +-^) a' W хх~ъ - (я - р' (*) х-*-'/* =
= I V(x) - ?2] ф (Я, k, х). (3.10)
Неизвестные функции а'(я) и Э' (лг) определяются из системы уравнений
(3.8) и (3.10),
а' (х) = 2^- [V (х) - №] ф (Я, k, х) x-%+ih,
I (3.11)
Р' (х) = 2^ \k2 - V (х)] ф (Я, k, х) хх+Ч*.
Условия (3.5) эквивалентны требованию, чтобы
lim а(л)-1, lim р(^) = 0. (3.12)
х->0 х->0
Из соотношений (3.12) и (3.11) получаем
X
"И = 1Ч 2Х |[^(1)-^21ф(Я, к, l)l-x+t,>dl,
(3.13)
= J [V'a) -А2]ф(Я., k, l)ll+'lldl.
о
Комбинируя (3.7) и (3.13), находим искомое интегральное уравнение
Ф(Я, к, х) = **+'/, + ^ J [(!)*¦ _ (*)*] х
0
' х VA W ~ v (I)] Ф (Л, К I) d\. (3.14)
3 Зак. 18
34 Гл. 3. Решения с граничными условиями при х=0
Это уравнение Вольтерра [103], и его изучение не представляет
затруднений. Пользуясь стандартным подходом, можно доказать равномерную
сходимость итерационного решения (3.14). При этом нужно отдельно
рассмотреть случаи р > 0 и р < 0 (А = р + йт).
а) В случае р 0, аф0 имеем | xX+4i | -
Далее, так как под интегралом ? < х, для рассматриваемого случая получаем
Ш1-14 Г-<№)¦•
1*\> <315) 1Ш -(f) 1<2(1) •
Введем формальное итерационное разложение
оо
Ф(А,, k, х) - 2 ф(л> (Я,, k, л;), (3.16)
п=0
для которого Ф<0) (A,, k, х) = ХХ+'Ь и
*• i / [Ш1 - (т )У ^ х
о
X [л2 - V(6)] ф'"> (А., А, е) лГБ- (3.17) С помощью (3.15) без труда
находим
ц -И/ х
|Ф<^ (к, к, ^)К-7ХГ J 1\& - V(\)\di =
О
уМ' + Уг
= *Р(Х), (3.18)
где Р(х) - положительная неубывающая функция х,
являющаяся также конечной, поскольку в силу (3.2)
X X
Р(х) = J l\&-V(?)|</?< J l\&\dl +
О О
х
-+ \l\V(l)\di = ±\k?\x* + N{x). (3.19)
§ 1. Интегральное уравнение для регулярного решения 35
Подставляя (3.18) в (3.17), находим
|<рГО(*. Л. ^)l<-j^/i|^2-^(i)|P(|)rfi =
0
= = (3.20)
Из (3.18) и (3.20) можно сделать заключение, что общий член итерационного
разложения должен удовлетворять неравенству
|<рМ(Х, k, *)|<-ап^-\Р(*)]*• (3-21)
Это заключение можно проверить по индукции. Считая, что (3.21) верно для
некоторого п, имеем
И + 1/ Х
|ф<"*"(я, к, J ||4*_к(|)|[р(|)]"^ =
- П№(ат=(<[+^-,|РИГ-.
(3.22)
откуда следует искомый результат.
Используем теперь (3.16) и (3.21) для нахождения оценки сверху для всего
разложения
СО
|<р(А,, k, JC)|<2 |ф(л)(^> k, л:)|<
