Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Альфаро В.Д. -> "Потенциальное рассеяние " -> 19

Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.

Альфаро В.Д., Редже Т. Потенциальное рассеяние — М.: Мир, 1966. — 274 c.
Скачать (прямая ссылка): potencialnieraseyaniya1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 67 >> Следующая

соответствующей области существования /(Я, k, z). В свою очередь /(Я, k,
z) может быть продолжено до вещественной оси р и будет удовлетворять там
уравнению (6.7).
Будем считать теперь р в функциях /(Я, k, z) и /ДЯ, А, р), определяемых
соответственно (6.8), веще-
§ 2. Аналитические свойства волновых функций
73
ственным. Обе функции будут при этом решениями уравнения (6.7) и,
следовательно,
f(X, k, z) = af1(X, h, p) -(- P/i (X, -A, p). (6.9)
Коэффициенты а и p не завися,г от р и, следовательно, можно считать, что
соотношение (6.9) справедливо во всей z- или p-плоскости. Однако эти
коэффициенты зависят, вообще говоря, от <р и k, причем очевидно, что а(ф)
и р(ф) удовлетворяют условиям а(0) = 1 и (3(0) =0. Более того, можно
вообще показать, что в действительности всегда р(ф)=0 и а(ф) = 1, т. е.
что
f(X, k, z) = ft(X, A, p). (6.10)
Для доказательства выберем такую область D комплексной fe-плоскости, в
которой ImA<0, ImA<0. В области D обе функции /(Я, А, г) и Д(Я, А, р)
определены и экспоненциально убывают вдоль вещественных осей z ир
соответственно. Нельзя, однако, пока утверждать, что функция /(Я, A, z)
всегда экспоненциально убывает вдоль вещественной оси р, поскольку не
доказано еще равенство р = 0. Однако из гл. 4 известно следующее
[напоминаем, что ехр (-ikz) = = ехр(-/Ар)]:
lim e~lkzf(X, A, z) = p (ф).
p->oo
Используем теперь теорему Монтеля (теорема 14 гл. 2). Полагая
f(z) = f(X, A, z)e~ikz, о = ф б,
видим, что из этой теоремы следует равенство р(а) = = р(0)=0. Подобным
образом мы доказали только первую часть высказанного утверждения.
Окончательно высказанное положение можно доказать, рассмотрев также
случай
f(z) = f(X, A, z)elu.
Так как уже известно, что р - 0, достаточно лишь отождествить в теореме
Монтеля b с а(0) и а с а (а)* чтобы сразу получить a(0)=a(a) = l. Таким
образом, равенство (6.10) доказано.
и
Гл. 6. Юкавские потенциалы
Из сказанного выше ясна эффективность метода Дейча. Функции, стоящие в
левой и правой частях равенства (6.10), являются аналитическими функциями
k, но аналитичность каждой из них доказана в различных областях.
Соотношение (6.10) показывает, что эти функции являются частями одной
аналитической функции, регулярной в обеих областях. Следовательно, можно
заключить, что функция f(X, k, z) может быть продолжена во все области
этого вида с lm/i<0, где h = keiv и |<р|<л/2. Сумма всех этих областей
составляет всю ^-плоскость с разрезом вдоль верхней мнимой полуоси.
Указанный вывод справедлив, естественно, при любом конечном X, поскольку,
как было показано в гл. 5, f(X, k, z) -четная целая функция X.
Полученный выше результат доказан, очевидно, только для юкавских
потенциалов. Не идущие столь далеко выводы могут быть получены при менее
сильных, чем это было принято ранее, предположениях о виде V(z), в
частности для потенциалов аналитических и ограниченных внутри сектора
|argz|<o. Окончательная область аналитичности по k будет в последнем
случае суммой областей вида 1т(&е"т) <0, где теперь |<р|<а. При этом без
дополнительных рас-суждений ясно, что df(X,'k, z)/dz является
аналитической функцией k в той же области, что и f(X, k, z).
§ 3. Рассмотрение S-волн по Мартину
Причина возникновения разреза вдоль верхней мнимой полуоси не может быть
разъяснена без дальнейшей специализации вида юкавского потенциала.
Рассматривая эту проблему, Мартин [69, 70], а также де Альфаро и Розетти
[26] получили интересное интегральное представление для f(X, k, z),
устанавливающее тесную связь между видом функций С(р) или о(ц),
определяемых уравнениями (6.1) и (6.5), и особенностями функции f(X, k)
на верхней мнимой полуоси. Указанные работы существенно разъясняют общую
ситуацию и заслуживают детального изложения.
§ 3. Рассмотрение S-волн по Мартину
75
Остановимся сначала на методе Мартина для S-волн. Рассмотрим функцию
g(k, x) = e-lkxf(j, k, xj.
Подставляя эту функцию в уравнение Шредингера для S-волн [уравнение (3.6)
при Я=7г]. находим, что g(k, х) удовлетворяет дифференциальному уравнению
g" (k, х) - 2ikg' (k, x) - V (*) g (k, x) - 0. (6.11)
Исходным пунктом излагаемого метода является следующая подстановка:
СО
g(k, х)= 1 + J р(?, a)e~axda. (6.12)
m
Подставляя (6.12) в (6.11) и используя теорему о произведении двух
преобразований Лапласа, получаем следующее интегральное уравнение для
p(k, а):
a(a-j-2i&)p(&, а) =
а-т
= С(а) + 0(а - 2m) J С(а - р)р(?, p)rfp, (6.13)
т
где 0 (х) = 1 при х>0 и 0(х:)=О при *<0. При установлении пределов
интегрирования использовано то обстоятельство, что С(а)=0 и p(k, а)=0 при
а<т.
Уравнение (6.13) имеет крайне интересную структуру, так как оно может
быть решено точно посредством конечного числа итераций. В самом деле,
определим итерационное разложение p{k, а) следующим образом:
ОО
р (k, а) = 2 Р" (k, а),
/1 = 0
а-т
Р*(*> а)~ а (а 2ik) J С(а-р) ?"_,(*. p)rfp, (6.14)
т
р0(А, а) = С (а).
76
Гл. 6. Юкавские потенциалы
Докажем теперь, что рп(К а)=0 при а<(я+ \)ш. Предположим вначале, что
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 67 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed