Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующих граничных условий. Так, если в (2.1) функции р(х) и q(x)
ограничены и непрерывны в некоторой точке Р, называемой неособой точкой,
то наиболее удобный способ задания граничных условий состоит в задании
значений решения и его первой производной в точке Р. Таким образом,
решение будет определено однозначно, причем, согласно общим свойствам
р{х) и q{x), мы можем продолжить его в определенном интервале изменения
х.
В дальнейшем р{х) оказывается равным нулю, и нам будет достаточно
рассмотреть только свойства q(x)=J(x). Эта величина зависит от потенциала
и энергии, и мы будем предполагать, что она является кусочно-непрерывной
и ограниченной функцией х во всем интервале от 0 до оо, за исключением,
быть может, точки х=0. Следовательно, мы будем иметь возможность
продолжать решение во всем интервале О, оо. Граничные условия указанного
вида оказываются, однако, недостаточными, если точка Р совпадает с
началом или бесконечностью. Поскольку вы-
§ 2. Теория дифференциальных уравнений
23
бор Р при х=0 или х= оо физически естествен, мы должны обратиться к более
общей формулировке граничных условий.
Теорема 5. Пусть в точке Р(х~с) функции р(х) и q{x) не обязательно
ограничены, но пределы
lim (х - с) р (х) и lim (х - с)2 q (х)
х-+с х-+с
существуют. В таком случае точка Р называется регулярной. При этом если
lim (х - с)р(х)=р0,
Х~+С
lim (x - c)2q(x) = q0,
Х-+С
то, кроме указанного ниже особого случая, каждое решение представляет
собой суперпозицию двух фундаментальных решений вида
^^(х-срф^х),
Ъ = (х-сГ Ф2(х),
где 01 и Ф2 - функции, конечные в точке Р. Показатели pi и рг являются
решениями уравнения
Р2Н~(А)- 1)Р+?о = 0-
Упомянутый выше особый случай возникает, когда разность pi - рг является
целым числом. Тогда обычный метод построения фундаментальных решений
становится непригодным; специальное исследование показывает, что может
быть построено независимое решение, содержащее 1п(х- с). Детальное
обсуждение данного вопроса содержится в книге Уиттекера и Ватсона [103].
Перейдем далее к новой переменной м= 1/лг, так что х- оо будет
соответствовать теперь и = 0. Точка ы = 0 будет регулярной точкой
получающегося дифференциального уравнения, если существуют оба предела
limxp(x) и lim x2q (х). Такое требо-
.*¦->00 *->оо
вание является естественным определением условия
регулярности точки х = оо.
24
Гл. 2. Математический аппарат
Теорема 6. Если р(х) и q(x) могут быть одновременно продолжены в
комплексную плоскость своего аргумента и являются голоморфными в
некоторой односвязной области, то решение тоже может быть продолжено в
эту область и будет в ней голоморфным.
Полное обсуждение данного вопроса содержится, например, в книге Уиттекера
и Ватсона [103].
Указанное обстоятельство очень важно при обсуждении юкавских потенциалов,
поскольку эти потенциалы являются, очевидно, аналитическими в верхней
полуплоскости.
Теорема 7. Основная теорема, используемая в теории потенциального
рассеяния, принадлежит Пуанкаре [83]. Она относится к дифференциальным
уравнениям, содержащим параметр. Предположим, что J (х, ti) в (2.2)
зависит не только от координаты, но и является также целой аналитической
функцией некоторого параметра тр Возьмем решение ф(я), определенное
граничным условием, не зависящим от тр в регулярной точке Р(х=с)
[например, ф(с)=0, ф'(с) = 1]. Теорема Пуанкаре утверждает, чтоф(хг, г))
при фиксированном х также является целой функцией т). Требование
регулярности точки Р может быть ослаблено, если граничные условия
остаются независимыми от ip Большинство теорем, установленных ниже,
являются, по существу, обобщениями теоремы Пуанкаре.
В нашем случае J(x, ri) -J0(x) +rfJi(x), где т) - или k или 1+1/г-
§ 3. Интегралы Фурье
Особенно важной является знаменитая теорема Римана - Лебега.
Теорема 8. Пусть f(x) ? Ь2(-оо, оо). Тогда интеграл
оо
/= J eikxf(x)dx
- со
стремится к нулю при k -*• оо [104].
§ 3. Интегралы Фурье
25
Приведем далее три теоремы, следующие из теории аналитических функций.
Теорема 9 (теорема Палея - Винера). Пусть F(k)-целая аналитическая
функция k, которая ?L2(-оо, оо) на вещественной оси. Пусть далее F(k)-
функция экспоненциального порядка1) и типа х. В этом случае
где f(t) ?L2(-x, х) [12].
Теорема 10 (теорема Титчмарша). Необходимым и достаточным условием того,
чтобы функция F(x), представляющая собой предел при у -> 0 некоторой
функции F(z) (z=x+iy), аналитической при у>О и такой, что
ОО
J | F (лг + iy) 12dx = 0 (е~2аУ),
- оо
входила в L2(-оо, оо), является равенство
ОО
ф(0-2^ | F{x)e~ixt dx - O, t< а
- СО
(см. [99]).
Теорема 11 (теорема Винера - Леви). Пусть функция Ф(г) является
аналитической в области Д и пусть функция F(K) выбрана так, что кривая 2
=
') Порядок р и тип т целой функции /(z) определяются следующим образом:
In In М (г)
р = sup
Г-"оо In Г
т = sup г р In Ж (г),
где М(г) означает максимум модуля /(г) при |г|=г, При р=1
говорят, что функция экспоненциального порядка.
