Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
2ikK=f(-k, k).
Подставляя теперь соотношение (5.7) и (5.8) обратно в (5.2), получаем
f(k, k, х) =
= [f (Я, k) ф (- Я, k,x)-f (- X, к) ф (X, k, лг)], (5.9)
/(Я, - k, jc) = -L[/(X, - А)ф(- X, k, х) -
- f(-k, - А)ф (к, к, х)], (5.10)
Ф(Я, k, х) =
[/(*-, k)f(k, -к, x) - f(k, -k)f(k, k, JC)I, (5.11) ф(-к, k, x) =
= 2Й [/ (- b) f (*•• -к, x)-/ (-к, - k) f (к, k, x)]. (5.12)
Изменение знака k (или Я) приводит лишь к перестановке (5.9) и (5.10)
[или (5.11) и (5.12)]. Следовательно, функции f(±k, ±k) полностью
определяют связь между решениями с граничными условиями при х=0 и
решениями с граничными условиями при х=оо.
Значения функций Иоста f(±k, ±к) не независимы, поскольку они
удовлетворяют тождеству
/(Я, - к) /(-Я, -к)
§ 2. Аналитические свойства f (k, k)
57
Этот результат получается, если подставить в
(5.6) функции f(X, ±k, г), выраженные через <р(±А,, k, z) соответственно
(5.9) и (5.10), при учете (3.27). Эквивалентное тождество для F(X, k)
имеет вид
el^F(X, - k)F(-X, k) -
- e~t,AF(X, k)F(-X, - k) = 2isinnX. (5.14)
Напомним, что в соотношениях (5.13) и (5.14) величина X обязана быть
чисто мнимой, поскольку в противном случае какая-либо из функций f(±X,
±k) может оказаться неопределенной. Тождества (5.13) и
(5.14) сохраняются, если заменить -k на k exp[t (2га + + 1)я], где п
- произвольное целое число.
§ 2. Аналитические свойства f(X, k)
Трудно переоценить значение детального исследования аналитических свойств
функции f(X, k) для теории потенциального рассеяния. Некоторые из этих
свойств непосредственно вытекают из соответствующих свойств f(X, k, х) и
ф(Х, k, х), установленных в предыдущих главах.
Перепишем еще раз (5.3)
f(X, k) = f(X, k, *)ф'(А,, k, х)~
- f'(X, k, л:)ф(А,, k, x). (5.15)
Известно, что f(X, k, x) и df(X, k, x)/dx являются целыми функциями X и
что ф(А,, k, х) и dy(X, К x)jdx - аналитические функции X при Rei > 0.
Отсюда следует теорема.
Теорема 1. Функция f(X, k) является аналитической при ReX>0 и
фиксированном k.
Аналогичным образом, поскольку ф (A,, k, х) и dy(X, k, x)jdx - целые
функции k, a f(X, k, х) и df(X, k, x)/dx - аналитические функции k в
полуплоскости lm?<0, получаем следующую теорему.
Теорема 2. Функция f(X, k) является аналитической функцией k в
полуплоскости Im &<0 при фиксированном X. . Если выполняется (4.6), то
58
Гл. 5. Функция Иоста и S-матрица
f(X,k)-аналитическая функция k при lmk<m/2 и фиксированном А.
При помощи теоремы 15 гл. 2 приведенные результаты можно объединить
следующим образом.
Теорема 3. Функция /(X, k), рассматриваемая как функция двух переменных X
и k, является аналитической в прямом произведении областей 1т?<0 и ReA>0.
Если же выполняется условие (4.6), то f(X, k) является аналитической
функцией в прямом произведении областей Imk < m/2 и ReA > 0. Аналогичные
теоремы, очевидно, имеют место при переходе от /(A, k) к F(X, k).
Поскольку в (5.15) не возникает точек ветвления по k, обусловленных ф(А,
k, z), приходим к формуле
f(A, ke2l3t) - f(X, k)+ 2i cos nXf(X, k, eln), (5.16)
которая идентична rio форме теореме 3 гл. 4приопу* щенном х. Формулу
(5.16) можно вообще рассматривать как предельную форму этой теоремы,
поскольку
f(X, k) = 2X lim хх~Ч> f (X, k, x). (5.17)
x -> 0
Именно этот предел был использован Иостом [52] для определения функции
/(A, k).
При переходе к F(A, k) формула (5.16) принимает вид
F(X, ke2isl) - - e2inX F (A, k) +
+ 2 cos nXetKlF{X, ke!lt). (5.18)
Для проверки (5.18) можно положить F(А, &) = 1 [т. е. взять V(x)=0], при
этом (5.18) превращается в тождество.
Из (3. 28) и (4.10) формально получаем
[/(А, ?)]* = /(А*, (5.19)
если V(x) веществен при вещественных я>0.
В заключение данного параграфа приведем ряд
§ 3. Отыскание сдвигов фаз
59
интегральных соотношений для функции Иоста. Из уравнений
ф"(Я,, k, л:) Ч- ^2ф0 (Я,, k, х) - -~д'/4 ф0(А., k, х) = О, f"(X, ± k,
x)-i~k2f(X, ± k, х) -
- -- f (X, ±k, x) = V(x)f(X, ±k, x)
имеем
[/(X, ±k, X) Фд (X, k, x)-f'(X, ±k, x) ф0 (X, k, *)]" ==
co
= - J V (а:) / (Я, ± k, x) ф0 (X, k, a:) dx.
о
Вспоминая, что при x->oof(X, ±k, x)~f0(X, ± k, x), а при a:->0 ф0(А., k,
л)~ф(Я, k, а:), с помощью (5.3) получаем
f(X, ±k) = f0(X, ±k) +
CO
-(- J V(x)f(X, ± k, а:)ф0(Я., k, x)dx.
о
Аналогичным образом можно установить соотношение
f(X, ± k) = fQ(X, ±k) +
ОО
-(- J V(x)lQ(X, ±k, а:)ф(Я., k, x)dx.
о
§ 3. Отыскание сдвигов фаз
Важность функций f(X, ±k) обусловлена тем, что они непосредственно
связаны с измеряемыми в физическом эксперименте величинами - сдвигами
фаз.
Понятие сдвига фаз возникает из рассмотрения асимптотического поведения
функции ф(Я, k, х) при больших х. Это поведение можно найти
непосредственно из (5.11) при замене функций f(X, ±k, х) на
60
Гл. 5. Функция Иоста и S-матрица
их асимптотические значения exp (+ ikx). В результате имеем
Ф(Х, к, х)~ 4b[f(K k)etk*-f(X, -k)e-""]. (5.20)
X -*• оо
В связи с выражением (5.20) по причинам, которые станут вскоре ясными,
удобно ввести функцию
