Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
S(K = (5.21)
где б (X, k) называется сдвигом фазы. Представим функцию Иоста, входящую
в (5.20), следующим образом:
f(X, k) = x(X, k)exp[ib(X, k)-i~ J-YI ,
(5-22)
f(X,-k) = x(X, А)ехр[-/б(Я,,Л) + ^ (Я-i)J.
После подстановки (5.22) в (5.20) получаем Ф(X, k, х)~ ух(>,, k) sin [kx-
\-6(X, k) - ^[x - -i-jj.
(5.23)
Множитель exp ^ + i ? (a,-y)j в (5.22) выделен для
того, чтобы 6(Х, k) обращалось в нуль при V(x)=0. Таким образом, величина
6 (A,, k) является мерой возмущения, вызванного действием потенциала на
регулярную волновую функцию.
Свойства S(A, k) непосредственно следуют из свойств f(X, k) и могут быть
сформулированы в виде следующих двух основных теорем.
Теорема 4. Если выполняется (4.6), то S(X, k) является мероморфной
функцией X и k в прямом произведении областей ReA,>0 и |Imfe|<m/2,
исключая точку ветвления при & = 0.
Теорема 5. При условии (4.6) имеет место соотношение
S(X, kei!t) --- *** +s\l°Sk*X S k) еЫ(X~'/a). (5.24)
§ 3. Отыскание сдвигов фаз
61
где 5(Я, keia) определяется согласно правилам, принятым в гл. 4. Также
имеет место соотношение
S(X kc21*) - 3 ^Н1 - 4 cos2 яА-) + 2 cos пке'лК ш /595)
' 1 - 2 cos яХе~ inKS (X, k)
Эти соотношения непосредственно следуют из (5.16) и (5.18).
Наконец, из условия эрмитовости (5.19) для /(Я, k) получаем так
называемое свойство унитарности S(X, k):
[5(Я,, ?)]* -[S(A,*, (5.26)
которое выполняется, если только V {х) веществен при вещественном
положительном х.
Из сказанного ясно, что свойства 5(Я, k) в ^-плоскости достаточно сложны.
Если, однако, ввести функцию
-7/1 t9\ 5 (X, k)-е21яК .
Zk) = tk S(X, k)-1 ' (5'27)
то она будет однозначной функцией k2 (при |Im&|< <m/2). Введение такой
функции значительно упрощает описание аналитических свойств функции S(X,
k), равной
s^k)=Ziz<!?"-?M ¦ <5'28)
В связи с (5.28) сделаем ряд дополнительных разъяснений. Придадим сначала
Я физическое, т. е. полуцелое значение. Ясно, что S(Я, k) становится при
этом однозначной функцией k, и при малых k2 имеем
A2*-ctg6(X, k) = Z{Я, fta) = Z0 + Z1Ai2 + ..., \k\<^- .
То обстоятельство, что выражение &uctg8^, k) может быть разложено в ряд
вблизи k - О, содержащий только четные степени k, хорошо известно в связи
с так называемой теорией эффективного радиуса.
Пусть далее Я равно целому числу. При этом можно, казалось бы, прийти к
парадоксальному выводу, что 5 (Я, &) = 1 вне зависимости от наличия
62
Гл. 5. Функция Иоста и S-матрица
потенциала. Однако такое заключение из соотношения (5.28) является
ошибочным. Дело в том, что в этом случае, согласно (5.27), Z(k, k2)=ik2K
и (5.28) превращается в неопределенность вида 0/0, так что из этой
формулы нельзя сделать даже вывод о четности S(X, k). В связи с этим
следует применить правило Лопиталя, которое при целых % дает
dZ/dX - ik^'e21*1 (2 in + 2 In k)
^ dZ/dX -2ik2X Ink
Легко проверить, что, согласно (5.24), S(k, k) имеет логарифмическую
особенность.
Установим теперь интегральное соотношение для величины
а (К k)=S (\fk ~1 = \ е* & *> sin 6 (I, к). Рассмотрим два уравнения
' ф" + k\ - -2 ~ ',4 ф = Кф,
(Po + ^2(Po-^Zl(Po==0
для регулярных решений возмущенного и невозмущенного радиальных уравнений
Шредингера. Вычтем второе уравнение, умноженное на <р, из первого,
умноженного на <p0, и проинтегрируем полученную разность в пределах от 0
до оо. С помощью (5.22) и
(5.23) получаем формулу
а (к, к) =
в1я(К-Ч,) Т
= -nx,-k)Mx;-k) J Ч> (*-• х) Фо (*". к, х) V (X) dx.
(5.29)
§ 4. Связь между сдвигом фазы и амплитудой рассеяния
Хотя понятие сдвига фазы хорошо знакомо большинству физиков, будет не
лишним кратко повторить здесь широко известный смысл использования этой
величины.
§ 4. Связь между сдвигом фазы и амплитудой рассеяния 63
Напомним, что исходным пунктом нашей теории было трехмерное уравнение
Шредингера (1.2)
(х) + kW (х) - V (х) V (х) = 0.
Согласно стандартной теории (см. гл. 10), решение
(1.2), описывающее процесс рассеяния, имеет при больших х в направлении
Ф, cos d=k • x/kx, следующее асимптотическое поведение:
4f(x)''"e/k-x4- F(k, cos ft), (5.30)
где k - вектор относительного импульса и |к|~=&. Первое слагаемое (5.30)
соответствует падающей плоской волне, второе слагаемое - расходящейся или
рассеянной волне. Функция F(k, cos О) представляет собой так называемую
амплитуду рассеяния, причем важность ее определяется тем, что она
непосредственно связана с дифференциальным сечением
^ = \Р(к,стЩ.
Величина da/dQ непосредственно измеряется в экспериментах по рассеянию.
Важность введения понятия сдвига фазы определяется простой связью сдвига
фазы с амплитудой рассеяния и,следовательно, с дифференциальным сечением.
При установлении этой связи главную роль играет равенство
ОО
eikxcos" = 2 (2/+ 1) ilj,(kx) Pi (cos G), (5.31)
1=0
где
h (Ьх) = [-щ]'2 Л №) = .
_ лv,2-"-V-1/. [Г(X + 1 )]-* х~\0 (к, ft, х), к = /4- J. Асимптотическое
поведение ji(z) характеризуется
64
Гл. 5. Функция Иоста и S-матрица
Рассмотрим теперь разложение
ОО
