Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
теорема верна для pn-i(k, а). Из (6.14) видно, что для получения
ненулевого результата необходимо, чтобы
а - р > тп, р > пт.
Следовательно, а>(я + 1)т и теорема имеет место для любого п, поскольку
она верна при л = 0.
Если теперь определять с помощью итерационного разложения p(k, а) в
некоторой точке, например а = =Л, то всегда А<(п+1)т, если п достаточно
велико. Начиная с этого значения, каждый дальнейший член итерацирнного
разложения обращается в нуль и бесконечный ряд в действительности
обрывается. При этом точка, где он обрывается, зависит, однако, от
величины А. Данное обстоятельство несколько охлаждает первоначальный
энтузиазм, поскольку при вычислении g(k,x) необходимы все значения p(k,
а) в области т^Са^Соо. Тем не менее установленное обстоятельство
оказывается полезным при выяснении свойств f(k), где f(k)=f(X, k) при
К=1/2 или /=0.
Из (6.11) следует, что
f (k) = lim f (-i-, k, л:) = lim g (k, x).
x->0 ' * / -r-"0
Отсюда вытекает равенство
ОО
f(k)=\ -f J p(ft, a)da. (6.15)
m
Формула (6.15) представляет f(k) в виде суперпозиции рациональных функций
k, каждая из которых имеет особенности на верхней мнимой полуоси в
соответствии с рассуждениями настоящей главы и гл. 4. Мартин усилил
приведенный результат, показав равномерную и абсолютную сходимость
интеграла в уравнении (6.15) при условии
ооц ОО
§ 4. Случай угловых моментов 1^1
77
которое включает в себя (6.3) и условие
оо
\x2V(x) \ < е f d\i = const,
J И1 m
так как
Из анализа Мартина следует также1): lim f(k)= 1,
| А | ->со
3jt Я (6.16)
lim g(k, x) = 1 при s-<argA<-y.
Смысл (6.16) состоит в том, что при высоких энергиях можно пренебречь
влиянием потенциала. Хотя это утверждение имеет определенный
математический смысл, его физическое содержание весьма условно, так как
используемые нами нерелятивистская кинематика и не зависящий от энергии
потенциал - предположения, никак не оправданные при высоких энергиях.
Таким образом, нельзя считать (6.16) очень важным результатом.
§ 4. Методы рассмотрения в случае угловых моментов /> 1
Центробежный член в уравнении Шредингера для /-й волны (3.1) затрудняет
распространение анализа § 1 настоящей главы на случай волн с /^>1. Анализ
этого случая был проделан двумя различными способами Мартином [70] и де
Альфаро и Розетти [26].
При этом Мартин сохранил интегральное представление вида (6.12), просто
добавив к потенциалу
*) Приводимый результат не ограничивается в отличие от (5.34) случаем - д
<; argk <; 0; он сохраняет силу только для юкавских потенциалов,
78
Г л. 6. Юкавские потенциалы
центробежный член
ОО UG
V(л:)Ч- ^ == J C(a)e-axda + l(l-|- 1) J ae~axdx.
m О
(6-17)
После этого сразу приходим^ к формуле (6.13), в которой С(а) заменено _на
С(а) = С(а) +1(1+ 1)а. Однако, вообще говоря, С (а) не обращается более в
нуль при о<т, и простой анализ § 3 становится невозможным. Трудность
состоит в том, что центробежный член является дальнодействующим, и так
как область действия потенциала характеризуется величиной 1/т, то вклад
этого члена в С (а) начинается от нуля (а=0).
Мартин обошел эту трудность, рассмотрев сначала отдельно влияние
центробежного барьера [т. е. он положил вначале С(а)=0]. Если обозначить
через р°(&, а) соответствующее решение, то
Г а
a(a-\-2ik)p°(k, а) = /(/+ 1) а + J (а-р)р°(?, p)dp
(6.18)
Дифференцируя обе части (6.18), получаем уравнение JL[a(a + 2lk)±!?(k,
а)] = /(/+ 1)"/°(?, о), (6.19) где
а
у°(?, a)=l-f J Р°(Л, p)rfp. (6.20)
о
Уравнение (6.19) просто преобразуется в уравнение Лежандра
?[<>-*>•?¦]+/"+1>*-о. ,
Действительно, легко проверить, что
*"(*, <*) = />, (1+-J)
§ 4. Случай угловых моментов /а 1
79
и, следовательно,
л*. (>+?)•
Приведенное соотношение учитывает граничное условие y°{k, 0) = 1,
вытекающее из (6.20).
Вернемся теперь к полному уравнению и рассмотрим случай С(а)=?0:
a{a-{-2ik)p(k, а) -/(/-f-1)
а-|- J (ct -р)р(?, p)tfp
= С(а)+ J С (а - р) р (Лг, p)rfp. (6.21)
m
Как и раньше, положим
а
y(k, а)= 1-f- J p(k, p)flTp.
О
Дифференцирование (6.21) дает
^[a(a + 2/A)-g-] = /(/+l)0(?, a)+^^>-, (6.22)
где
a-m
X (k, а) = С (a) + J С (a - р) р (k, р) dp. (6.23)
m
Рассматривая (6.22) как неоднородное дифференциальное уравнение и
применяя стандартные приемы, получаем
*(*. ">=/>,(1 +¦&)-
-т/[М1 + ж)вф+?)-
о
-P,(1+i)Q,(l+i)]^iL* (6.24)
Основываясь на формулах (6.23) и (6.24), можно получить итерационную
схему решения. Действитель-
80
Гл. 6. Юкавские потенциалы
но, если величина y(k, а) построена до значения а= -пт, то после
подстановки в (6.23), (6.24) она определяется далее до значения (п +1) т.
Другую итерационную схему предложили де Альфаро и Розетти. Исходным
пунктом ее является подстановка (А=/-Н */г):
/(А,, -k, х)~
СО
= (*±i?)'+1Pi (k, о) h\V [(/Ч-го) х] do. (6.25)
О
Здесь через h<f)\(k-\-ia)x\ обозначена так называемая сферическая функция
Ганкеля первого рода, определяемая равенством
*I"W=(?f MV).
Смысл подстановки (6.25) состоит в том, чтобы с самого начала включить
