Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
уравнение (6.28) позволяет продолжить ее на комплексные ?, т. е. на
вещественные k, и таким образом амплитуда рассеяния может быть полностью
восстановлена. Детальный анализ показывает, что достаточным условием
существования
§ 6. Соотношение между v(§) и потенциалом
85
решения (6.28) является выполнение неравенства
ОО
J dl < 2я In 2. (6.29)
m/2
Приведенное выше рассмотрение ограничено случаем потенциального рассеяния
в том отношении, что
предполагается lim А(|) = 0. Аналогичные по суще-|-"-00
ству уравнения могут быть записаны также в случае, когда необходимы
вычитания, причем получаются амплитуды, зависящие, вообще говоря, от
констант вычитания. Соответствующие неоднозначности связаны с полюсами
Кастильехо - Далица - Дайсона [21], которые в настоящей книге не
рассматриваются.
§ 6. Соотношение между v(|) и потенциалом
Мартин [71] доказал следующее интересное соотношение:
2|-т
-Ц- v (|) = С (2|) + / С (2| - а) р (/?, а) da. (6.30)
т
С помощью (6.13) и (6.30) ему удалось восстановить С(р) по виду v(g).
Действительно, предположим, что функция v(i) известна в интервале
m/2^|^nm/2; тогда известна также и функция С(р) при /и<р,<л/и. Из формулы
(6.13) в этом случае получаем р(г|,а) до значений а< (п+1)т. После этого
формула (6.30) позволяет вычислить С(2|) при ? < (л +1) лг/2 и 2? - а <
пт, если известна v(g). Так как а > т, то достаточно, чтобы
21 < (л-)- \)т < л/и-)-а.
Таким образом, приведенное свойство может быть доказано по индукции, так
что достаточно доказать его при п-2. В самом деле, при ?<т
•§ У(|) = -С(2|).
86
Гл. 6. Юкавские потенциалы
Приведенная схема последовательных приближений позволяет восстановить
потенциал по v(?), т. е. зная только сдвиги фаз. При этом потенциал,
очевидно, однозначен, благодаря чему возникает кажущийся парадокс,
связанный с тем, что, согласно гл. 12, должна существовать целая группа
потенциалов с эквивалентными сдвигами фаз по числу произвольных
параметров, характеризующих связанные состояния системы (см. гл. 7).
Предположим для простоты, что существует только одно связанное состояние.
Объяснение парадокса заключается в том, что метод Мартина всегда
воспроизводит потенциал с наименьшим радиусом действия 1/т [22], в то
время как все остальные потенциалы, соответствующие тем же фазам, имеют
больший радиус 1/2х, если 2%<т (-и2 - энергия связанного состояния). Эти
потенциалы могут получиться, если нуль знаменателя /(-k) включить в
разрез верхней полуплоскости переменной k (см. также гл. 11, § 8).
ГЛАВА 7
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПОЛЮСОВ S(k, k) ПРИ ФИЗИЧЕСКИХ ЗНАЧЕНИЯХ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ
§ 1. Связанные состояния
Выдающимся достижением теории S-матрицы явилось единое описание рассеяния
и связанных состояний, основанное на использовании аналитических свойств
S (X, к).
Связанные состояния рассматриваемой системы определяются как стационарные
состояния с целочисленным угловым моментом /, описываемые квадратично
интегрируемыми решениями уравнения Шре-дингера (1.2). Эти решения должны
удовлетворять определенным граничным условиям как при х=0, так и при х =
оо. Если Е > О или k вещественно, связанные состояния невозможны,
поскольку все решения при больших х осциллируют и, следовательно, все
интегралы вида [см. (1.3) ]
со со
j dQ j х2[ Ч'1 (х)|2 dx = J |ф(Я, k, x)\2dx о ' о
расходятся. Как известно, из рассмотрения угловой части волновой функции
вытекает, что для связанных состояний I должно быть положительным целым
числом или нулем. Если считать X лишь вещественным, то математическое
рассмотрение останется, по существу, тем же.
Если Е не является вещественным положительным числом, то асимптотический
вид решения ф(Х, k, х) при больших х (имеющего, согласно гл. 3,
правильное поведение при х = 0) будет следующим:
Ф(Я, к, х) ~ 2k)el,lx-f(K -k)e-ik*]. (7.1)
дг->оо *1К
Отсюда видно, что при \ткф$ функция ф(Я, k, х) ведет себя асимптотически
как сумма двух экспонент,
88
Гл. 7. Интерпретация полюсов S (>., k)
одна из которых всегда возрастает, а другая стремится к нулю при больших
х. Связанное состояние возникает только тогда, когда обращается в нуль
коэффициент перед расходящимся слагаемым. Пусть <р= =Ф(Я,, k0, х) -
решение, соответствующее связанному состоянию и экспоненциально убывающее
при больших х. В то же время ф подчиняется уравнению Шредингера
Ф" + [* - - V (*)] Ф = 0. (7.2)
При этом для случая потенциалов V(x), вещественных при х > 0 (что
будет предполагаться во всей гла-
ве), можно также записать
Ф*" + [К - - V и] ф* = 0. (7.3)
Из (7.2) и (7.3) получается уравнение непрерывности
JL [фу _ ф*'ф] = 21 Im k\ ф*ф,
следовательно,
оо
Im?2 | ф р efjc = 0. (7.4)
о
Согласно предыдущему рассмотрению, величина
оо
J | Ф |2 dx конечна и положительна; отсюда ясно, что о
Im k20 = 2 Im k0 Re k0 = 0.
Так как мы уже исключили случай 1т&0=0, то Re&0=0, т. е. величина k0
чисто мнима, а Е0 вещественна и отрицательна.
Пусть k=ib, где b вещественно. Напомним, что ф(Л, к, х)-четная функция k\
