Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
поля. Во всяком случае, если раньше, когда поставленная проблема ложных
полюсов считалась существенной, внимание было сосредоточено на
парциальных волнах, то теперь
§ 4. Резонансы
93
в основном рассматривается полная амплитуда рассеяния, которой не
соответствует верхний динамический разрез; сейчас вообще не встает вопрос
о том, являются ли все полюсы связанными состояниями.
Для сравнения с (7.11) приведем здесь функции Иоста S-волн для случая
прямоугольной ямы V(х) => = Уов(а-х) и одного из потенциалов Баргмана
(см. гл. 12):
а) для V(x) = V0 0(а-х)
№ = j е~ika [(l - т-) (l + т) eik'a] ¦
где
б) для потенциала Эккарта
V (х) = - 2Ат? "ЕЬ"*>
v ' [-4ехр(- тх)-{-\)2
имеем
ttk\=M±h.
I\R) 2k - im '
где v = m (Л - 1)/(Л -+-1).
§ 4. Резонансы
Как мы только что видели, связанным состояниям соответствуют нули fi(-k)
в области Im k>0 при целочисленном I. Естественно поставить вопрос, как
интерпретировать подобные нули при произвольных значениях k. В случае
связанных состояний математические свойства волновой функции (в отличие
от их физической интерпретации) остаются неизменными при любых
вещественных К. При произвольных k (при Im?>0 или 1т&<0) вывод § 1,
сформулированный в виде равенства (7.4), более не сохраняет силы,
поскольку (7.6) показывает, что соответствующая волновая функция не
будет, вообще говоря, входить в М0,оо). Полученное выше для связанных
состояний заключение о том, что Refe=0, перестает быть верным.
Следовательно, если Im &<0, то на положение нулей не накладывается
никаких априорных ограничений, не зависящих от конкретного вида
потенциала.
94
Гл. 7. Интерпретация полюсов S (K,k)
Предположим, что подобный нуль существует при k=h+ib, где Ь<0. Вспоминая
свойство эрмитовости
[ШГ=/Л-П
приходим к заключению, что - h + ib также будет нулем. Новый нуль будет,
вообще говоря, отличаться от старого, если только кфО. Пары нулей с НфО
обычно называются резонансами, а при h - 0 - нулями, соответствующими
антисвязанным или виртуальным состояниям.
Резонансы обладают весьма интересными свойствами, которые впервые стали
понятными из известной теории Брейта - Вигнера. Мы дадим здесь краткое
резюме этой теории, делая ударение на ее математической стороне.
Прежде всего для резонансов b никогда не равно нулю. В противном случае
при k=h должны были бы обращаться в нуль одновременно fi(k) и /г(-k), а
следовательно, в силу (7.5) и ф при всех значениях х; это приводит к
противоречию, так как
lim x~l~1q>= 1.
Jf -> о
Нельзя, однако, исключить возможность того, что для некоторых нулей
величина |Ь| окажется малой. Фактическая величина b определяется
потенциалом. Предположим теперь, что для одной из 5-волновых резонансных
пар величина |6| действительно мала по сравнению с h. Рассмотрим
воображаемый эксперимент по рассеянию при энергии, весьма близкой к /г2,
т. е. при k, близком по величине к ±h. Для подсчета сечения необходимо
определить сначала сдвиг фазы, используя (7.8) [5(&)=5(72, &)]:
S" = 7frjr (713)
Как числитель, так и знаменатель (7.13) определяются вблизи одного из
нулей резонансной пары. В качестве первого приближения можно попытаться
разложить f(k) и /(-k) по степеням k - h + ib и k - h - ib соответственно
(6<0). С учетом свойства эрмитово-
§ 4. Резонансы
9b
сти такое разложение должно иметь вид
f(k) ^ C(k - h + ib), f(-k) = [f(k*)]*~C*(k-h-ib),
где С - некоторая константа. Отсюда следует, что вблизи резонанса функция
S(&) допускает представление
Для простоты будем считать argC=0. В этом случае после простых вычислений
имеем
Переходя к энергетической переменной, соотношение
(7.15) можно переписать в виде
Из (7.15) видно, что вклад S-волны в полное сечение имеет острый максимум
при k=h. Если величина k- h велика по сравнению с Ь, то формула (7.15)
перестает быть справедливой и сечение нужно определять по-другому, а
именно непосредственно решая волновое уравнение. Можно, однако, ожидать,
что sin26(&), а следовательно, и полное сечение будут медленно
меняющимися функциями, когда k лежит далеко от h, и обладать острым пиком
при k вблизи h. Согласно (7.15), ширина пика по переменной k равна 216j,
а по переменной E=k2 равна 4\b\h.
Более детальное рассмотрение (7.14) показывает, что при переходе от k<^h
к k^>h сдвиг фазы изменяется на величину л. Если ниже резонанса величина
b{k) близка к нулю, то при энергии, большей энергии резонанса, она
достигает я. При этом в самой точке резонанса 8(k) составляет я/2, так
как, согласно (7.15), при k = h sin2 6=1. Если С комплексно, то 6 (к)
будет изменяться от некоторого исходного значения arg С до argC+я, но в
любом случае пройдет через некоторое полуцелое значение фазы, кратное я
S (k) = еш <*> " e2i arg с
(7.15)
Д0 = й2, r = 4\b\h.
96
Гл. 7. Интерпретация полюсов S (к, k)
в точке резкого максимума сечения, где sin2 6=1. Сказанное разъясняет,
почему часто говорят, что резонанс возникает при фазе, равной я/2, хотя
более строгим является требование выполнения формулы Брейта - Вигнера,
