Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
следовательно, если имеется связанное состояние при некотором к, то такое
же связанное состояние будет существовать и при -к. Таким образом, без
потери общности можно все-
§ 2. Нормировка связанных состояний
89
гда считать, что b > 0. Формулу (7.1) можно переписать теперь в виде
Ф(Я., ib, х) ~ -*r\f(X, ib)e~bx-f{X, -ib)ebx\. (7.5)
ЛГ-"СО
Условием существования связанного состояния является равенство /(Я, -ib)=
0. Наоборот, если /(Я, -&)=0, Im k > 0, то получаем связанное состояние,
поскольку тогда
ф (Я, k, х) = 2^ / (Я,, k) f (Я, - k, х).
При этом функция ф (Я,, k, х) имеет асимптотическое поведение вида
ф(Я, k, х) = const elkx, (7.6)
из которого следует, что ф ?L2(0, оо) при Im&>0. Из сказанного вытекает,
что те нули /(Я,, -k), которые появляются в области Im &>0, обязательно
соответствуют чисто мнимому k = ib, b>0. Вследствие условия эрмитовости
величина ф будет при этом вещественной.
§ 2. Нормировка связанных состояний
Для многих приложений представляет интерес определение нормировочной
постоянной С волновой функции связанного состояния (при k = ib),
определяемой соотношением
ОО
С-1 = j* ф2 (Я,, k, x)dx. о
Исходным пунктом опять будет уравнение (7,2) для парциальных волн и
уравнение, получающееся из него дифференцированием обеих частей по k.
Используя обозначение
Ар (Я, k, х) I
90
Гл. 7. Интерпретация полюсов S (X, к)
имеем
Ф" + [к2 ~ -V (х)] ф + 2kq> = 0.
Умножая первое уравнение на ф, второе на ф и вычитая одно из другого,
приходим к уравнению
фф" - ф"ф -f- 2йф2 = 0.
Отсюда получаем
2k J ф2 dx - [ф'ф - ф'ф]" =
1 f (\ и\ ^ (Я, k)
- 2Иг ' > dk
к=1Ь
Окончательный результат можно представить двояко:
с= шг
f(K, k) [df {X, - k)/dk]
к-ib
!_ [f(X,k)f d [5 (Я, 6)]-1
° 2 Ik dE k=ib
§ 3. Связанные состояния и ложные полюсы
Пусть Я = /+У2, где / - целое положительное число или нуль, и
f(l+l/2,k)=fi(k), S(l+1/2,k)=Sl(k). Из соотношения (5.21)
Si(k) = (-\)l1^ (7.8)
следует, что нули f;(-k) являются в то же время полюсами Si(k). В случае
юкавского потенциала V(x) функция Si(k) имеет два типа особенностей:
динамический разрез (при целом I кинематического разреза нет) и простые
полюсы (в нулях знаменателя), в том числе полюсы, соответствующие
связанным состояниям. Согласно предыдущему анализу, связанные состояния
проявляются как такие полюсы Si(k), для которых k = ib, где b -
положительное вещественное число.
§ 3. Связанные состояния и ложные полюсы
91
Следовательно, при 1т&>0 функция St(k) имеет в случае юкавских
потенциалов особенности только на верхней мнимой полуоси. В прошлом это
обстоятельство рассматривали как известное затруднение, поскольку
возникали некоторые неясности при попытке определения связанных состояний
не как нулей fi(-k)> а как особенностей Si(k). Действительно, возможны
случаи, когда динамический разрез вырождается в ряд полюсов (ложных
полюсов); ниже мы специально рассмотрим примеры, когда полюсы не
обязательно отвечают связанным состояниям [64, 52].
Указанная трудность была значительно преувеличена, и было выполнено
значительное число исследований с целью исключить так называемые "ложные
полюсы". Прямоугольная яма и гауссовский потенциал не дают ложных
полюсов, поскольку не имеют динамического разреза; поэтому они считались
предпочтительными по сравнению с полевыми потенциалами.
По современным воззрениям эти полюсы возникли случайно в силу весьма
специальной природы обсуждавшегося частного примера: экспоненциальный
потенциал У(л:)=Лехр(-тх) и S-волны. В свою очередь экспоненциальный
потенциал был взят потому, что он дает точное решение уравнения для S-
волн в виде функций Бесселя. Действительно, уравнение Шредингера имеет
вид
Если ввести переменную I-(2 У - А/т) ехр (-тх/2), то это уравнение может
быть сведено к уравнению Бесселя
ф" -f- (k2 - Ае~тх) ф = 0.
(7.9)
г22Ф , 1 dty rf|r+I'dT
(7.10)
с общим интегралом
Ф = oJllklm (|) + РJ-Ш/т (I).
92
Гл. 7. Интерпретация полюсов S {X, k)
Учитывая соответствующие граничные условия, получаем
/ (k, х) = , k, jcj =
(т+0 ¦Л(r)"• <7-п>
Из рассмотрения обычного степенного разложения функции Бесселя
A(*)-?(-i)'(fPVn;dv+i> <7'12>
Л = О
видно, что особенностями f(k,x) являются простые полюсы, расположенные в
точках k = inm/2, я=1, 2,_
Из уравнений (7.12) и (7.11) следует, что f(k, х) имеет вид
00
f(k, x) = e~ikx -\-e~ikx J p(k, a)e~axda,
m
где
p(k, а) = |[в(а-/яя) (4г)П
tt-0
В приведенной форме настоящий результат очень похож на выражение,
использованное в методе Мартина (см. гл. 6). По существу, метод Мартина
представляет собой далеко идущее обобщение рассмотренного примера в том
смысле, что он использует возможность разложения по нецелым степеням
величины ехр(-гпх/2). Из только что приведенного обсуждения ясно, что
ложные полюсы возникают тогда, когда С(а) является дираковской б-функцией
или суперпозицией б-функций. По этой причине сразу исключаются как
стандартный потенциал Юкавы, так и все потенциалы, следующие из теории
