Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Асимптотический предел (8.18) при больших К следует из следующего
выражения для Qx-у, [7J:
Qx-чЛ cos 0) =
=л'/з W+Wе~*{K+'h)f (т' к + Ь х+1: е~ш)'
где F - гипергеометрическая функция. С помощью обобщенного неравенства
Гобсона [18]
*+-j. ^+1; ?)|<|1-С|Л ICKl,
находим
|й(Я., А)| = 0(ЯГ,/*<ГсЛ),
где
. Л . m2 cha= 1 +-2р--
Этот результат следует также из теории поля и тесно связан с
существованием эллипса Лемана.
Приведенное доказательство для внутренне замкнутой теории потенциального
рассеяния является, конечно, недостаточным. Мартину [73] удалось придать
строгость предыдущим рассуждениям. Исходным пунктом его рассуждений
послужило интегральное уравнение типа Фредгольма (см. приложение II)
ф+ (Я, k, х) -ф0+ (Я, k, х)-|-
ОО
+- J /С+(Я, kt х, х') V (я') (Я, k, xr)dx\ (8.19)
о
3 Зак. 18
114
Гл. 8. Асимптотические свойства S (X, k)
где
(X, к, х) = е' = (4^-f A (fcc).
/Г (Я, а, X, = " {xx'fAikxJH^ikx^,
= j {х + х')-^\х--х'\,
Х> - -г? (х х') | X - х' |.
Нетрудно найти связь Ф+(Я, k, х) с ф(Я, k, jc). Действительно (см.
приложение III),
ф+ (Я, к, х)*=е,1ят*-Ч ,
причем имеет место формула
ОО
а (Я, к) = - >г ~k I х'/2^ь х) V W dх•
(8.20)
Доказательство Мартина опирается на неравенство
|К+ (Я, к, х, хг) | < J (х*')% (Я*-^-)"'/4, (8.21)
справедливое при достаточно больших положительных Я. Доказательство этого
неравенства дано в приложении IV. Опуская для простоты в соотношении
(8.19) зависимость ф+ от Я и k, получаем
Ф+(*)1<(4?)'/'1Л(Ь:)| +
-V 00
+Цх2-шУ1 {хх'),/2 Iv w 11 *+ w Idx'-
о
Умножим это соотношение на х1/21 V{x) | и проинтегрируем по х; вводя
обозначение
сзо
/= J JCVl 1 (JC) 11 V" (JC> I ?/JC,
9
§ 4 Асимптотическое поведение при больших веществ. Я 115
получаем
со
7<Ш'/г I x\Jk{kx)\\V{x)\dx+
О
+ Т {v-Tb)'Ul\x\V(x)\dx. о
Отсюда ясно, что
ОО
J х I Jk (kx) \\V(x)\dx
/<(#)*¦
0
при условии, что
_1/ 03 о
С другой стороны,
оо
а (Я, k) | < (^-)'/! j- j х'/2|Л(А*)||ф+(х)||К(х)|</х<
О
оо
<-jy J х[Л(kx)f \V(x)\dx+
О
' оо
С х IД (kx) \\V(x)\dx
1 .о
+ (") i(W 16) 7
о
В силу неравенства Шварца
J x\Jh(kx)\\V(x)\dx
2 со
< J х[Д(Ьс)]2 X
XlV'Hlrfx J x'\V{x')\dx'.
8*
116
Гл. 8. Асимптотические свойства S (A, k)
Отсюда следует
ОО
J x\v (х)\ [J^{kx)Ydx
И*. А)|<?----------2------------------------•
'jx\V(x)\dx
О
Числитель этого выражения в точности совпадает с
со
борновским приближением. При конечном |х;| V(x)\dx
о
приведенная формула дает верхнюю границу для |а(А, &)|, которая совпадает
с указанной в начале настоящего параграфа.
В работе [50] было показано, что истинное асимптотическое поведение
сдвига фазы определяется первым борновским приближением.
§ 5. Асимптотическое поведение при больших комплексных А, и вещественных
k
В § 6 будет показано, как следует модифицировать аргументы в соотношениях
§4, когда А стремится к бесконечности вдоль мнимой оси. При |argA|<Jt/2
можно установить теорему, которая действительна в случае юкавских
потенциалов, удовлетворяющих условию (8.6) или (8.7) и обладающих
соответственно верхней гранью для вещественной части координат полюсов.
Пусть S(X,k)-аналитическая функция А со следующими свойствами при
вещественных k:
а) [5 (А, А)]* = [5 (А*, Л)]-1 (унитарность),
б) S (A, k) - 1 < Се~аХ (А вещественно и положительно; см. §4; С-
некоторая положительная постоянная),
в) |5(А, k)\ < е~п Im *¦ = ея IIra М при 1шА<0 (см. теорему 1 гл. 8),
г) S (A, k) не имеет ни. полюсов, ни нулей при Re А>Н. (8.22)
§ 5. Асимптотическое поведение при больших комплексных К 117
Рассмотрим теперь S(%,k) - 1=Л(Я) внутри сектора W:
О > arg - Н)>- j.
Введем функцию А(<р)
где ф=а^(А,-Н). В силу "б" и "в" функция Л(ф) существует и,
следовательно,
А(<р) < я| sin ф |, Л(0)<-а.
Из теоремы 12 гл. 2 следует
А(ф) л | sinф| - асовф, -y < 'Р < (8-23)
В силу неравенства (8.23) функция А (Д.) в пределе при IЯ | -*¦ оо
обращается в нуль всюду, где h(ф) отрицательно, и в том числе в секторе
О > ф > - arc tg - . Вследствие пункта "а" (8.22) последний вывод
остается верным и при |ф|< < arc tg(a/n). Хотя полученный результат
интересен и сам по себе, он все же слабее, чем этого можно было ожидать.
Для учета свойства "г" используем простой прием, основанный на том
обстоятельстве, что если S(k, k) не имеет ни нулей, ни полюсов, то [5(A.,
fc)]1/w, где N - любое сколь угодно большое положительное число, также
обладает этим свойством. Пусть
A(l, N) = [S (К, k)]w- 1
и
А (ф, N) = sup In | A (К N) |.
| А" | oo I I
Используя те же соображения, что и в случае Л(ф), находим
А (ф, N) < | sin ф | - a cos ф.
Очевидно, что величина А(ф, N) отрицательна в области
. " . . aN
0>ф> -arctg-.
118
Г л. 8. Асимптотические свойства S (A, k)
Следовательно
lim Л (A,, N) = 0, | ф| < arc tg-^.
Откуда при I ф 1 < arctg-^
lim[5(A., k)\VN=\, lim S (A,, k)= 1.
Выбирая N достаточно большим, величину arctg (aN/n) можно сделать сколь
угодно близкой к я/2. Таким образом получаем следующую теорему:
Теорема 2. Если V(x)-юкавский потенциал, удовлетворяющий неравенству
