Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
оо со
2 т,-1 = SpMk=±jxW(x) dx.
<7 = 1 О
Однако если <7</\(ч) и л9>1. если q>
>рх(ц), откуда
рк оо со
Л ^ Ё V1 ^ SV1 = 2Г J dX'
<7=1 <7 = 1 О
Ньютон [77] получил при А, = 0 более сильный результат
СО X
J xW (х) dx J yW (у) In (x/y) dy
A><1 + - ST--------------------------
J xW (x) dx
o
Важным следствием результата Баргмана является то, что если интеграл
оо
J х\V (х) | dx
в
104
Гл. 7. Интерпретация полюсов S (X, k)
конечен, то система заведомо имеет конечное число связанных состояний,
так как все рк конечны и ft=0 при
СО
2Х > J х | V (х) | dx.
о
Баргман также показал, что оценка (7.17) является наилучшей в том смысле,
что можно найти потен-
СО
циалы, для которых J xW(x)dx при физических X о
сколь угодно близко к 2кр\.
ГЛАВА 8
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА S(X, к) ПРИ БОЛЬШИХ X И ФИКСИРОВАННОМ к
§ 1. Предварительные замечания
До сих пор мы рассматривали особенности S(X, k) при полуцелых, т. е.
физических значениях X. В последнее время значительный интерес вызвали
особенности амплитуды рассеяния в ситуации, в известном смысле обратной,
а именно при физических значениях энергии и комплексных значениях X.
Хотя, очевидно, невозможно придать обычным образом простой физический
смысл трехмерной волновой функции с неполуцелым X, идея введения
комплексных моментов оказалась все же весьма полезной при рассмотрении
целого ряда проблем, в особенности связанных с явлениями при высоких
энергиях.
Ограничимся рассмотрением радиальной волновой функции. При комплексном X
центробежный барьер будет эквивалентен отталкивающему потенциалу, если
только ReA.2>74, и будет притягивающим, если Re^2<74- Мнимая же часть
барьера в зависимости от знака Im X2 будет вести себя либо как
абсорбтивный, либо как порождающий потенциал.
При обсуждении особенностей S(X,k) как функции X при фиксированном k мы
должны ограничиться областью Re X > 0, в которой обе функции Иоста,
входящие в формулу
5(1. =
являются, как было доказано, аналитическими. Поскольку при ReX>0 обе
функции f(X, ±k) аналитические, S (А,, к) в этой области будет
мероморфной функцией X.
106
Гл. 8. Асимптотические свойства S (Я, k)
§ 2. Предварительные ограничения на положение полюсов при вещественных k
В случае потенциалов, вещественных при вещественных положительных х (что
будет предполагаться во всей настоящей главе), из условия эрмитовости
(5.19) следует так называемое соотношение комплексной унитарности:
IS(A,, Л)Г = 5_1(Я,*. Л). (8.1)
Соотношение (8.1) при вещественных Я позволило ранее записать S(X, k) в
виде
5 (Я, k) = eM,
где величина б вещественна. Другим следствием этого соотношения является
то, что если функция S (Я, k) имеет полюс при Я=Я0, то она имеет также
нуль при
Я = Яо"
Важные свойства полюсов вытекают из теоремы. Теорема 1.
1тб^-|-1тЯ при 1тЯ^0, k>0,
.. (8.2) -1<0 при 1шЯ = 0, k>0.
Доказательство. Пусть
Я2-1 = Д + /Д,
и пусть уравнения Шредингера для ср = ф(Я, k, х) и сопряженной функции ф*
имеют вид
ф" + ?2Ф - ^ ф - 1/ф = О,
, * А - iB " . (8-3)
ф* + Я2ф* - ---%-ф*- 1/ф* = 0.
Обычным образом из (8.3) получаем тождество
|ф|2
JL (фу _ ф*'ф) = 2ib -
$ 2. Положение полюсов при вещественных k
107
откуда следует, что
оо
lim (ф*<р' - ф*'ф) = 2iB I =
Х-Усо J Х
- w. Q-fil, k)nv, ~k)\.
Вспоминая теперь соотношения (5.22) f(l, k) = x(l, k)e16 f(l, - ?) = т(Я,
jfc) "-"<*, лж/яямя-у,),
находим
со
В J ijiidx = - ± | т (Я, k)f sh [2 (im6 -1 Im *)]. (8.4)
Отсюда при вещественных положительных k Im6=g|lnU, 0.
Устремляя Я-"Я0, где Я0 вещественно, с помощью условия аналитичности Коши
- Римана находим
Hm 1т6(Я)-1т6(Я") = Ит ЬпбЩ
Ini Я 1т Я0 1ш Я dX
Из соотношений (8.4) и (8.5) получаем ')
ОО
так что
db (Я) ^ я dX" 2'
Теорема 1 показывает, что мнимая часть б ограничена снизу при ImKO, и,
следовательно, функция 5 (Я, k) =*ехр 2i6 ограничена сверху. Таким
образом,
') Из (8.4) можно также получить
lim Im б (Я)/Ке (Я - Я0) = О,
К -У А-о
что подтверждает последнее равенство в (8.5). - Прим. перев.
108
Гл. 8. Асимптотические свойства S (Л., k)
в указанной области не может возникать полюсов. По аналогичным
соображениям при 1тЯ>0 не существует нулей.
Поскольку при выводе (8.2) никак не использовался вид потенциала, они
должны иметь чисто кинематическую природу. Проиллюстрируем причину
отсутствия полюсов при Im Л.<0, k>0. Пусть ф - регулярная волновая
функция, соответствующая полюсу; в этом случае /(Я, -k)=0 и асимптотика ф
имеет вид
Такое поведение отвечает расходящейся волне. Поскольку волновая функция
регулярна в начале, единственная возможность компенсации потерь
вероятности (так как Е вещественно, то состояние стационарно) состоит во
введении какого-либо источника. Такой источник может быть здесь
обусловлен только комплексным центробежным барьером, а условие того, что
он является испускающим, как раз и состоит в выполнении неравенства В>0
или Im Я>0. Подобные рассуждения оправданы только тогда, когда потенциал
(как это здесь предполагается) не зависит от скорости. Если бы потенциал
