Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
центробежный барьер в волновую функцию и только У(лг) рассматривать как
возмущение. В этом случае центробежный барьер не должен создавать
трудностей, так как волновая функция представлена в (6.25) в виде
суперпозиции расходящихся волн, являющихся решениями полного свободного
уравнения. Сначала установим существование такой функции Р, о), что
х'хе~тх (k + ia)l+x А/1' [(? + /а) х] =
СО
= J (А+ ml+l h(t1)[(k-\-if,)x]Ki(k; р, а)пгр.
О
Явная форма Kt(k; р, а) оказывается следующей:
*<(*•¦ * (4Фж)'в(r)-^ -
р- т
-ттж/ 'дай*}##5)*]-
о
/ A + toy r(* + /a)2 + (* + /P)2 + m2-,
- 0 (р - ° л [-2(*+йм*+1Р) J •
§ 5. N ID-метод
81
Важным моментом рассмотрения является то, что Ki{k; р, а) =0 при а > р -
т. Следовательно, возникает ситуация, полностью аналогичная случаю
рассмотрения S-волн по Мартину. Спектральная функция рi(k, о)
удовлетворяет следующему интегральному уравнению [для простоты в него
подставлен потенциал Юкавы V(x) =Ае~тх/х]:
о-т ,
Pl{k, q) = 6(q)+ I Рг^' (r)Kt(k' P)rfP-
о
Для конечного о это уравнение также может быть точно решено конечным
числом итерации. Нормированная функция Иоста F(X, k) равна
ОО
F(X, k)= J рг(-k, a) da. (6.26)
о
Соответственно приведенной формуле F(X, k) представляет, как и
ожидалось,, суперпозицию рациональных функций k с особенностями вдоль
верхней мнимой полуоси. Равномерная сходимость (6.26) может быть доказана
так же, как и ранее.
§ 5. N/D-метод
Рассмотрим амплитуду перехода для S-волны в случае юкавского потенциала
как функцию энергии Е:
"(c)"¦йгИт-*)-1]-
Каждому Е мы сопоставим такое k=Y^> что 1шй>0. В этом случае а (Е) -
аналитическая функция Е в комплексной плоскости Е имеет следующие
особенности:
1) левый разрез -оо 4 ? 4-т2/4, соответствующий разрезу в ft-плоскости
для S(72, k) по верхней мнимой полуоси;
2) полюсы при Е-Еп < 0, сопоставляемые, как будет показано в гл. 7,
связанным состояниям;
6 Зак 18
82
Гл. 6. Юкавские потенциалы
3) правый разрез вдоль 0-<Д^оо, возникающий из-за двузначности функции
k=VЕ. Действительно, если k = | YЕ\ при Е > О, то
а +ге)= 2W ( 2" ' *) ^] '
a{E-U) = -±[s{\,-k)- 1].
Из (5.26) для вещественных Е > 0 имеем
\ma = k\ a\2. (6.27)
Постараемся теперь, основываясь на (6.27) и знании скачка на левом
разрезе, найти величину а(Е) при стремлении Е к вещественным
положительным значениям со стороны верхней полуплоскости Im ?>0 (т. е.
при физических значениях ?). Ясно, что задание скачка на левом разрезе в
значительной степени эквивалентно заданию спектральной функции с(ц) в
соотношении (6.5), т. е. задание левого разреза можно рассматривать как
некоторый способ представления действующих в системе сил.
Решения поставленной проблемы [80, 10] найдем путем представления а(Е) в
виде
а(Е) = ШI ( ' D (Е) '
При этом на функции N(E) и D(E) налагаются следующие условия:
1) N(E) имеет только левый разрез,
2) D(E) имеет только правый разрез и простые нули в полюсах а(Е),
3) N(Е) =o(l/k) при |?|->оо,
4) ?(?)-* 1 при |?|-уоо,
5) D{E) вещественна при ?<0,
6) N(E) вещественна при ?>-.
Условия 3 и 4 вытекают из сказанного в гл. 4 и 5. При изучении конкретных
физических задач, выходящих за рамки потенциального рассеяния, эти
условия могут быть ослаблены или видоизменены.
§ 5. NI D-метод
83
Соответственно сказанному имеем
- m2/4
W-i I
- СО
со
D&='+Tii в-в-и*1?' ¦
о
где е>0.
Зададим далее скачок 2iq(-E) на разрезе - оо < Е < - /и2/4:
2iq (-?)=: а (? + /е) - а(Е - ie) =
= 2Лта(?) = 21 -щ|?р-< Е<-^-,
так что
Im N(E) = q(-E)D(E) при ?<-.
Если Е > 0, то имеем
Im а (Е) - Im - | d (?) |2 ^т&(Е) =
= k\a\* = k
№ (Е)
10(?)|* или _
ImD(Е) = УЕN(E) при ?>0.
Следовательно, получаем два связанных интегральных уравнения: для Z)(-Е)
при /я2/4<?<оо и для N(E) при ?'>0,
оо
Dl-E)=\-li4i^-VWdE',
0
оо
N(E)=-l J iSSl^Elae.
т2/4
Приведенные интегральные уравнения составляют основу так называемого
обычного N/D-метода. Исключив N или D, можно получить одно линейное
6*
84
Г л. 6. Юкавские потенциалы
несингулярное интегральное уравнение, которое решается стандартными
способами. После определения D (Е) нахождение полюсов не представляет
затруднений.
Можно показать [10], что для N(E) и D(E) справедливы следующие
соотношения:
D(E) = f (- k).
Все вычисления можно вести также с помощью более простого метода [71], в
котором единственной искомой величиной является функция Иоста. Этот метод
был впервые использован для восстановления потенциала по q(-Е). Пусть k-
i%; напомним, что S(k) имеет скачок 2tv(i) вдоль верхней мнимой полуоси,
причем v(g)=-2lq(l2). С другой стороны, пусть S(k) = =/("!)//(-ii) и f{k)
допускает интегральное представление
/<*)-<--к
т/2
Положим - тогда скачок v(|) будет разен
v = У(r) _
А{-1) '
так что
оо
А (|) = 1 -1 J У(Г№Г) d\r. (6.28)
m/2
Соотношение (6.28) можно рассматривать как интегральное уравнение типа
Фредгольма относительно А (I) [27] и решать его соответственно.
После того как величина Л(|) становится известной при | < -т/2, то же
