Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
V(x) являлся также функцией Я [например, при комплексных Я потенциал V(х,
Я) становился бы комплексным и в зависимости от конкретного выбора его
сам действовал как положительный или отрицательный источник], предыдущий
анализ оказался бы невозможным.
§ 3. Дальнейшие ограничения на полюсы для юкавских потенциалов при
вещественных k
Выводы § 2 сохраняют силу для широкого класса потенциалов. Если же V{z)
является юкавским потенциалом и удовлетворяет еще некоторым
дополнительным условиям, то можно получить значительно более сильные
результаты. Поскольку поведение полюсов является определяющим во всех
проблемах, связанных с передаваемым импульсом, рассмотрим подробно
характер их распределения.
§ 3. Дальнейшие ограничения на полюсы
109
Наложим на V (z) одно из двух условий:
или
wm\<%
\V(iy)\<f.
(8.7)
(8.6)
Предположим далее, что k вещественно и f (Л, -k) = = 0, т. е. что 5(Л, k)
имеет полюс. При выполнении неравенства (8.6) запишем волновое уравнение
в виде (в качестве переменной служит у)
где точки обозначают дифференцирование по у. Имеем также
Умножая уравнение (8.8) на <р* и вычитая потом из него уравнение (8.9),
умноженное на <р, получаем
Ф*Ф - (Фу1Ф = 21 [-^ - Im V (iy)] | Ф p. (8.10)
Обе стороны (8.10) мы проинтегрируем ниже по у в интервале 0 ^ у оо. В
пределе при больших у как ф, так и ф* экспоненциально убывают, так как в
силу равенства f(X,-&)=0,
Следовательно, асимптотическое поведение ф при z=iy и больших у имеет вид
Таким образом, интегрирование левой части уравнения (8.10) дает нулевой
результат, и мы приходим к тождеству
Ф - ?2ф - V ф -(- V (iy) ф = 0, (8.8)
Ф(Я, k, г) =2k)f(X, -k, z).
СО
СО
1шЯ2 J -i-pL dy= j \mV(iy)\y\2dy. (8.11)
о
о
110
Гл. 8. Асимптотические свойства S (A, k)
С другой стороны, из условия (8.6) следует, что
J Im V (iy) ] ф |2 dy
<
< J | Im V(iy) ]| <v\*dy< Mj dy. (8.12)
Комбинируя соотношения (8.11) и (8.12), приходим к искомому ограничению
для полюсов
Im А2 < М.
(8.13)
Если вместо условия (8.6) имеет силу условие
(8.7), то приходится использовать несколько более пространные
рассуждения. В этом случае уравнения
(8.8) и (8.9), умноженные соответственно на ф* и ф, складываются.
Результат интегрируем в интервале О у ^ оо и после несложных вычислений
вместо
(8.11) получаем
П
Ф
+|*2-
-^г~- Re 1/ (гг/)] | ф ]2 j ей/ = 0.
(8.14)
Пусть Т1 - угол, лежащий в интервале 0<т1<я/2. Умножим (8.11) на sin rj,
(8.14) на cos rj и сложим их:
ОО
jdy{|ф --J- costj -
О
+ \k2 cos л + ~т (cos 11 Re А2 + sin ti Im A2) -
L У
- cos t] Re V (iy) - sin rj Im V (й/)] | ф |2j = 0. (8.15) Если
Re(A2?-/T>) = rosri ReA2 + sinri ImA2>0,
§ 3. Дальнейшие ограничения на полюсь;
111
то из (8.15) непосредственно следует цепочка неравенств
СО
J \k2 cos л + -jjr Re (^-й1)] IФ I2 dy <
О
со
< J dy{|cp - ^¦|2C°S4 +
О
+ [k2 cos Т) -f -1? Re (X2e~ iT>)] I ф I21 =
oo
= I Re [V (iy) e~ ,T1I | ф |2 dy <
0
оо CO
<{|К(г"е-^||ф|2^<^| L^dy. ¦ о 0
С другой стороны, в силу неравенства Шварца при Re [X2 ехр (-1'л)]>0
имеем
ОО
J '\k2cosл-ЬRe(к2е~/T>)j |ф|2dy >
О
оо
> 2k [cos л Re {X2e~iv)\l:i f dy,
J у 0
и во всяком случае
М2
cosт| Re(A,2e-^)<-p-. (8.16)
В случае реализации равенства соотношение
(8.16) представляет семейство прямых в комплексной
Х2-плоскости. Огибающей этих прямых будет парабола, отображением которой
в Х-плоскости будет просто прямая ReX=N/k. Действительно,
(Re X)2 = шах [cos л Re (Х2?-<т>)[ < . О < л < j.
Окончательно условие принимает вид
ReX<|-. (8,17)
Гл. 8. Асимптотические свойства S (X, к)
Интересным следствием неравенства (8.17) является то, что существует
линия, справа от которой нет полюсов. Тот же вывод, хотя и не столь
непосредственно, следует и из неравенства (8.13), но мы пока не будем
касаться этого вопроса.
Физическая интерпретация относящихся к полюсам результатов дана в гл. 9.
§ 4. Асимптотическое поведение S (^, к) при
больших вещественных X и фиксированных вещественных k
Несколько обескураживающей особенностью асимптотических свойств в ^-
плоскости является трудность нахождения строгих и в то же время несложных
доказательств внешне сравнительно простых утверждений.
Типичным примером может служить поведение S(X, k) при больших
вещественных X и фиксированных вещественных к. Естественно предположить,
что основная часть радиальной волновой функции располагается на
расстояниях порядка параметра соударения X/k. При X/k^l/m большая часть
волновой функции оказывается вне сферы действия потенциала и почти не
возмущается взаимодействием. В результате реализуются идеальные условия
пригодности борновского приближения.
Из рассмотрения формулы (5.29)
вытекает, что разумное приближение можно получить при замене <р// на
<ро//о.
СО
f(X,-k) f0 (Я. - А)
оо
sin6 - 6 -j J л: | (kx) |2 V (x)dx.
о
Если к тому же
§ 4. Асимптотическое поведение при больших веществ. X 43
то получаем, что
|6(^)l<^-Q>.-v,(l 4-$). (818)
где Qji-i/j (z) - функция Лежандра второго рода [7].
