Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Альфаро В.Д. -> "Потенциальное рассеяние " -> 30

Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.

Альфаро В.Д., Редже Т. Потенциальное рассеяние — М.: Мир, 1966. — 274 c.
Скачать (прямая ссылка): potencialnieraseyaniya1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 67 >> Следующая

(8.6) или (8.7), то
lim 5 (A., k) - \, |argA.|<-^-
I К I-"со ^
А(ф)< - а| cos ф ],
(равенство 1 ф| = тс/2 не допускается).
Нам осталось рассмотреть случай условия (8.7), когда, как мы уже
установили, существует некоторая полуплоскость, свободная от нулей и
полюсов. Из неравенства (8.13) ясно, что полюсы возможны в области,
ограниченной гиперболой
Im А,2 = 2 Im A, Re А, = М
и ее асимптотами ImA = 0 и ReA = 0. Применяя соотношение (8.23) в
свободном от сингулярностей секторе 0>argA>-я/2, находим, что
lim 5(A,, k) = l, |argA| < arctg -.
| Я. 1->оо 31
Можно выделить не содержащую полюсов область |аг8А|<?. \1\>R,
если только R достаточно велико. Сумма областей Im A Re А>М/2 и D
заведомо содержит полуплоскость вида Re А>#; таким образом, теорема 2
доказана.
§ 6. Асимпт. поведение при больших компл. X и произв. k 119
§ 6. Асимптотическое поведение при больших комплексных X и произвольных к
Предыдущий анализ недостаточен для установления какого-либо критерия об
асимптотическом поведении парциальной амплитуды рассеяния вдоль мнимой
оси в комплексной Я-плоскости. К сожалению, именно поведение на этой оси
определяет соответствие аналитических свойств S(A,, k) и свойств f(k, cos
Ф).
Первое обсуждение данной проблемы [89] ограничивалось случаем
вещественных k и в значительной мере опиралось на квазиклассическое
приближение (ВКБ-метод), которое непригодно при мнимых X/k. Во второй
попытке [16] X и k уже не ограничивались, причем применялось обобщение
ВКБ-метода. Жак-шич и Лимич [50] показали, что подобный подход с
некоторыми дополнениями и уточнениями дает точное асимптотическое
поведение сдвига фаз, а именно борновское приближение. Барут и Дилли [5]
отметили возможность применения в этом случае метода Лан-гера. Поскольку
обоснование этого метода в оригинальной работе весьма утомительно, мы его
не приводим.
Еще одно доказательство было дано в работе [19], однако, поскольку оно
опирается на существенно иной подход, чем в настоящей книге, мы его
касаться не будем. Мартин [73] обобщил свое рассмотрение, изложенное в §
4, на мнимые X, но в его доказательстве используются весьма сложные
неравенства для функций Бесселя.
Мы изложим здесь доказательство, основанное на идеях работ [18, 73].
Такая трактовка довольно проста, но не дает наиболее полных результатов;
в частности, потенциал Юкавы требует отдельного рассмотрения.
Будем исходить из интегрального уравнения Фредгольма для f(X,-k, iy) и
предположим сначала, что k вещественно и положительно. В этом случае
функция f(X, -k, iy) имеет при больших у следующее
120
Гл. 8. Асимптотические свойства S (X,k)
асимптотическое поведение:
f()i, -k, iy)~e-**[\+o(\)\
и, следовательно, регулярна на бесконечности. Соответственно сказанному
определим
"•<*• *• Qi>" *• >)= П){к-й'У)-
(8.24)
N(X, k, у, () = N(X, k, t, y) = VtyKK(ky>)/K(ky<), где
и =ttL I \*-"\ у
У> 2 ^ 2 '
Функция Q удовлетворяет (см. приложение II) интегральному уравнению
фредгольмовского типа
ОО
Q (У) = Qo (У) + / 'V (у, 01/ (") Q (/) Л. (8.25)
о
Запишем теперь функцию Иоста F(X, k) в виде детерминанта Фредгольма
(8.25) (полное рассмотрение см. в приложении III)
СО
f (х, - k) =1+2 J v m ...v оiy":) x
X
N{ylt П = 1 yi) •• • N (уи уп)
N (У\, Уп) •• ¦ N (Уп* Уп)
dyi-.. dyn. (8.26)
Чтобы использовать (8.26), нужно найти соответствующую оценку для
величины N(y, t). Как показано в приложении IV, при Re X > 0 имеет место
|ЛГ(У, 01 < У(У)Ч(*)> (8.27)
где
^=стеУ''
(8.28)
§ 6. Асимпт. поведение при больших компл. X и произв. k 121
Запишем det 1N(ylt у.) в следующей форме:
i,J>n
det | N(yt, у}) | =y2("/i) • • • Y2 (Уп) det |Г/у|,
I, К п I, ] < п
где
г n (у" у j)
Ч У {Уif У (Uj) '
Поскольку Г(у<1, в силу неравенства Адамара имеем n
| det | Г(-;-11 < я"/2. i,j< п
Следовательно, оценка сверху для (8.26) задается неравенством
чс'" /П-1-П/2
(8.29)
Л = 1
где
I X I Ik со
'o '. \X\tk
Пусть 3/2<а<2. Если | V(iy) \ <Na/ya, то при больших X получаем, что 1 =
0{Хг/г~а). Разложение (8.29) равномерно сходится в каждой конечной
области I и правая сторона (8.29) непрерывна по /, так что приходим к
следующей теореме.
Теорема 3. Пусть V(z) - юкавский потенциал, \V(iy)\<Na/ya, 3/2<а<2. Тогда
при |Х| -*• оо
F(X, ft) -1 = 0(XVi-a),
s (x, k) - i = o {x>h~a). (8'30^
Теорема 3 может быть, очевидно, усилена. Это было сделано рядом
авторов [18, 19, 50, 73, 92], которые
использовали более сложные формальные схемы доказательства, позволяющие,
в частности, включить собственно потенциал Юкавы. В работах [18, 92] была
использована весьма эффективная теория уравнений Фредгольма (2.4), (2.5),
развитая Смифисом [95]. Под-
122 Гл. 8. Асимптотические свойства $ (1, k)
ставляя в эти формулы К (у, t) =N(y, t)V(it), находим
оо оо
=4 J r-H+w J ">¦-'/, (' +Тр}°Ш*
О О
и далее
со
л=0
По существу, нет единого подхода к определению II/(II. Так как функция F
инвариантна относительно преобразования подобия, то вместо К может быть
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 67 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed