Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
взято любое ядро вида А~1КА, причем лучше всего выбирать такое ядро с
наименьшей нормой |И-|/04||. Выбирая симметризованное ядро
Кs{t, y) = [V(iy)V(it)^N(y, t), получаем норму
ОО 00
га = J J | N it, у) р IV (it) 11V' (iy) \dtdy.
о о
В общем случае эту норму подсчитать довольно трудно, но Браун и др. [18]
показали, что для потенциала Юкавы, V(z) =Ae~mz/z, она сводится к
выражению
ОО
ll^s II ~ TF (n-f Re/-f l)2 •
я = 0
Данный результат содержит весьма ограниченную информацию о том, что
делается при больших Im X. Однако функция Иоста может быть также найдена
с помощью уравнения Липпмана - Швингера для парциальных волн (см.
приложение III)
T+(x,p,k)=
ОО
= То (X, р, k)+ J Я+ (X, k\ р, q) Т+ (X, q, k)dq,
§ 6. Асимпт. поведение при больших компл. X и произв. k 123
где
Н+ (X, k\ р, <7) = - (? + /е)2_?2 X
Х Jq>-V,(--+2^L-2)0^^1-
m
Браун и др. [18] взяли в своем расчете симметризо-ванное выражение для
ядра
k\ р, q) = ------------ гг-----------------rr X
У я [q2 - (*+ /")*]'/" [р2 - (k + h)2] l:
Х ] ^•l.{P'+2p,+ ''')amai1 m
и получили для потенциалов Юкавы оценку сверху
ОО ОО
I^+! = ^ J j \Р2 - Е\ \q2 - E*\ Х
X | Qx",/z (-+2^+ m2) f dp dq,
которая перестает быть конечной при вещественных Е. Скадрон и др. [92]
показали, что эту величину в свою очередь можно заменить на
ОО оо
Y-Лiff-i_____________L_ о (p2+q2+m2\2dpd<,
я2 J J p2 - E о2- E* ^-Ч.\ 2pq ) aPaH-
о о
С помощью неравенства Гобсона (см. § 4) для функций Q нетрудно показать,
что при больших X Y=0(X~l). Вследствие указанного неравенства t(K) =
=т(Н) = О (Х~'!*). Таким образом, асимптотическое поведение задается
первым борновским приближением.
Анализ Фредгольма - Смифиса не применим ко всему классу юкавских
потенциалов; точное соотношение между величиной а и поведением F(X,k) на
мнимой оси до сих пор остается невыясненным. Как показал Мартин [73], для
1<а<2 и вещественных k формула (8.30) может быть заменена на
S(X, k) - 1 = 0 (А,1-0). (8.31)
124
Гл. 8. Асимптотические свойства S (Я., k)
Если k комплексно, но Im &>0, предыдущий анализ, основанный на
соотношениях (8.26) и (8.27),может быть повторен и при рассмотрении f [Я,
-k, iy, exp (-го)], где k=\k\eia. Ядро N(y,t) остается при этом
неизменным, но V(iy) заменяется на У[г'г/ехр(-го)], определенную только
при О^о^я, что и заставляет ограничиться случаем Im&^O. Таким образом,
приходим к теореме.
Теорема 4. Пусть V(z) - юкавский потенциал, удовлетворяющий условию
при 3/2<а<2 и 0<а-<я. Тогда lim F(K, -k)- 1
17, l -> 00
при ReA,>0, Im&>-0.
Отдельное рассмотрение собственно потенциала Юкавы позволяет без труда
включить его также в эту теорему при Im&^> 0. Хотя общее доказательство
отсутствует, естественно предположить, что теорема 4 верна до а = 1.
Теорема 4 не гарантирует, что limS(A, &) = 1 во всей рассматриваемой в
ней области А, и k, так как в S(X,k) входят оба значения ±k. Однако для
доказательства с ее помощью представления Мандельстама достаточен в
действительности соответствующий вывод только при вещественных k.
Л" ГС
Метод ВКБ [16] при т] = arg - -j дает lim F{X, k)- i.
|X|-"oo
Причем для достаточно больших А,
I/7 (А,, ?)|-<Се2г>'11па|, л'Хл! - я.
Аналогично, если приравнять теперь т| = я/2 + arg X/k < 0, то
l/^A,, Аг^КС^'и-Н ц' >|т)|-я.
§ 6. Асимпт. поведение при больших компл. X и произв. k 125
Из сказанного следует, что при | arg Я, | < jt/2,
I arg{X/k)\ < л/2
lim S(A,, k)- 1.
| Я. |->co
Сделаем несколько замечаний о потенциалах, аналитических в секторе
|argz|<a<Jt/2 [89]. Для них имеет место
lim F(X, k) - \ при arg?-(--? <a,
| Л |->0O I * I
если неравенства
| К (,*<"') ]<*?.. |<a<2,
P ^
выполняются для a' а. Изложенную выше теорию можно перенести, конечно, и
на эти потенциалы. Теория таких потенциалов не разработана подробно, за
исключением, пожалуй, прямоугольной ямы (о=0) и гауссовского потенциала
(о=я/4). Разумно предположить, что для больших X
lim F(X, k) = \
] А, [ ->оо
при | г| | <2а, где T) = arg (XI k) - я/2.
Из всего сказанного следует, что а является столь же определяющим
параметром для асимптотического поведения при мнимых X, как 1 /т для
поведения при вещественных X.
ГЛАВА 9
АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПОЛНОЙ АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ В /-ПЛОСКОСТИ ПРИ
ВЕЩЕСТВЕННОЙ ЭНЕРГИИ
§ 1. Функции /(?¦, <)и5 (*", k)
Рассмотрим амплитуду рассеяния как функцию энергии E - k2 и передаваемого
импульса t=2k2{\ - - cos ¦O') с учетом формулы (5.33):
f (Е, t) = F (k, cos ft) =
СО
= Ш S W+ ') I5 *) - V pi (! - щ) ¦ <9Л)
1=0
Для построения амплитуды достаточно знать, очевидно, S(X,k) при
физических значениях углового момента. Наоборот, если известна амплитуда
f(E,t), значение S(X,k) для физических X можно найти с помощью формулы
4+-|. *)=
1
= 1 + ik | Pt (cos ft) / [E, 2k2 (1 - cos ft)] d cos ft. (9.2)
-i
При выводе (9.2) используется нормировка
i
J Pi (cos ft) Pi- (cos ft) d cos ft = 2i + i-bu'- (9-3)
Опустим временно в S{X, k) и f(E,t) зависимость от энергии и будем
пользоваться записью S(X) и/(t). Формула (9.1) показывает, что задание
