Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Альфаро В.Д. -> "Потенциальное рассеяние " -> 35

Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.

Альфаро В.Д., Редже Т. Потенциальное рассеяние — М.: Мир, 1966. — 274 c.
Скачать (прямая ссылка): potencialnieraseyaniya1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 67 >> Следующая

k, х] и уравнения для дф/дЕ= (d/dE)q>[k(E), k, х]:
Ч>" + Гф- Х2(Е)х~1/4 Ф - ГФ =0,
(&L\"i pHФ Я2 (?) - у4 д<р v dtp_______________
\ дЕ) дЕ х2 дЕ v дЕ ~
, 1 dl2(E)
Умножая первое уравнение на дф /дЕ и вычитая из результата второе
уравнение, умноженное на ф, приходим к тождеству
дф ( дф \'У___________, dl.2 (Е) ф2
m -
Интегрирование этого тождества по х от нуля до бесконечности дает (9.22).
Если Е и Я почти вещественны, то следует ожидать, что ф2, а
следовательно, и d№(E)ldE будут также почти вещественными и
положительными, причем последняя величина будет
§ 5. Интерпретация полюсов в Х-плоскости
139
иметь порядок квадрата радиуса R классической орбиты системы. В
соответствии со сказанным
*L~A~K- г -¦ % -¦ 2ЛтЬ "ли л - TR2
dE 2Х ' 2 A R2 Ло ~ 4Х '
Если о - соответствующая орбите классическая скорость, то h%=MvR,
поскольку hX- угловой момент и М - приведенная масса. Следовательно,
hRT 110 4Mv •
В то же время 2яR/v равно времени обращения системы по орбите At, откуда
с учетом выражения для среднего времени жизни т = 2М/йГ получаем
•гД- = 2п-тт= Aft.
2т)0 Л*
Величину Aft можно назвать угловым временем жизни системы; оно тем
больше, чем меньше т]о.
Мы получаем резонанс всюду, где "траектория"-a(k) близко подходит к
целому числу. Таким образом, одна и та же функция a(k) может быть
источником нескольких резонансов, если при вещественных Е она близка к
нескольким целым числам. Следовательно, резонансы могут появляться целыми
семействами, каждое из которых относится к одной и той же функции a(k).
Это соображение о семействах резонансов является весьма существенным для
понимания явлений при высоких и низких энергиях.
В заключение остановимся кратко на угловой части волновой функции. При
нецелочисленном a{k) сферические гармоники Yf (^. ф) перестают быть
однозначными или регулярными решениями волнового уравнения для угловой
части
(¦SinTlF +
= -а (а 4-1) Г (ft, ф). (9.23)
Введем тем не менее дополнительное порождающее взаимодействие с
резонансными частицами 1V7 Q (ft, ф)
140 Гл. 9. Аналитические свойства полной амплитуды
не меняющее вида радиального уравнения, но модифицирующее уравнение
(9.23) так, что оно переходит в
При комплексном ?2 (¦&, ср) собственные значения уравнения (9.24) могут
быть комплексными и можно подобрать такую функцию ?2, что собственным
значением будет a(k). Аналогично можно провести мысленный эксперимент с
введением порождающего сектора W, который непрерывно восстанавливает
вероятность, "утекающую" на бесконечность в процессе распада резонансов.
При определенном выборе W время жизни резонанса становится бесконечным и
соответственно энергия Е - вещественной. Подобным образом получена связь
между обычной интерпретацией резонансов по Брейту - Вигнеру и их
представлением с помощью комплексных угловых моментов. В дальнейшем,
поскольку W не изотропно, угловой момент не остается постоянной движения
и первоначальная симметрия резонанса нарушается.
§ 6. Общие свойства траектории a (V^E)
Как следует из предыдущего рассмотрения, связанные состояния и резонансы
группируются в семейства, характеризующиеся одной и той же функцией
а(|/Е). Всякий раз, когда "(/?) является целым числом /, в /-й
парциальной волне амплитуды рассеяния возникает полюс, который
интерпретируется как связанное состояние или как резонанс в зависимости
от соответствующего ему значения Е. Так как а(]/Е) определяется из
равенства
(
= [?2-а(а+1)] К (О, Ф)- (9-24)
f[o(v^)+^t уге] = о,
то <*(/?) является аналитической функцией в плоскости Е с разрезом вдоль
положительной веществен-
§ 6. Общие свойства траектории а (V Е)
141
ной оси на листе Im k - Im ]/?_< 0, исключая точки, где д?/<?А,=0, и
точки, где а(]/?)< -г/2 (это следствие теоремы 16 гл. 2). Пусть энергия Е
вещественна: рассмотрим по отдельности случаи ?<0, ?>0 и ? = 0 (пороговое
поведение). При ?<0 и k=ib, 6<0, имеем следующую асимптотику:
<Р [a {YE) + j, ib, х]^ Yb f [а(/^) + j • -ib\ ebx-
Следовательно, в данном случае <р* и ф регулярны как при х=0, так и при
х=оо. С помощью очевидного соотношения
ф.[ф"_иг+ц<р+(?_у)ф] -
-ф[я.-'-^У^Ф-+(?-Г)ф-] = 0
получаем тождество
00
Ima(a + 1) | =
о
из которого следует, что функция а(]А?) вещественна при ?<0, если только
а>-Уг- Ясно, что последнее условие необходимо, так как в противном случае
оо
интеграл J (| <р |2/л:2) flfx был бы расходящимся в на-о
чале.
Рассматривая_далее равенство (9.22) при ?<0, видим, что а(]/?) является
возрастающей функцией ?. Следовательно, а(0) соответствует высшему
угловому моменту семейства, при котором еще может реализоваться связанное
состояние с нулевой энергией. Если ?>0, следует ожидать, что функция
а(]Л?) комплексна, причем вследствие унитарности а(/? + ге) = а*(У? -
/е). Более того, согласно предыдущему рассмотрению, полюсы S(K,k) при
Re^>0. возможны только тогда, когда k вещественно и находится в верхнем
квадранте, а Im Я>0. Следовательно,
142 Гл. 9. Аналитические свойства полной амплитуды
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 67 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed