Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
47, 48]. Мы приводим вывод дисперсионных соотношений для потенциального
рассеяния, следуя Унцикеру [47, 48].
Сделаем несколько вводных замечаний, чтобы пояснить некоторые трудности,
с которыми приходится здесь сталкиваться. Прежде всего не существует
никакого строгого вывода дисперсионных соотношений Кури (или обычных
дисперсионных соотношений) из известных аналитических свойств парциальных
амплитуд рассеяния, хотя, как будет показано, имеются некоторые нестрогие
аргументы в пользу того, что такой вывод возможен. Указанное
обстоятельство объясняет, почему мы вынуждены отказаться от формализма
предыдущих глав книги и ввести формализм полного трехмерного
рассмотрения. Настоящую главу можно рассматривать поэтому как
самостоятельную. Конечно, предпочтительнее с эстетической точки зрения и
рациональнее иметь единый метод рассмотрения. Однако даже если бы и
имелась возможность вывода дисперсионных соотношений в рамках методов,
работающих с парциальными волнами, тем не менее целесообразно постунить
так, как это сделано ниже, ибо интересно знать и другие методы (не
связанные с парциальными волнами). Кроме того, вывод Унцикера легко можно
применить к несферическим
• ';
. i -•
§ 2. Допущения и формальный аппарат в выводе Унцшtepa'fyf
потенциалам; весьма вероятно также, что его удастся обобщить на случай
многих измерений и на случай систем, состоящих более чем из двух частиц.
§2. Допущения и формальный аппарат в выводе Унцикера
Напомним, что с самого начала в книге было использовано трехмерное
уравнение
ДЧг(х) + #!,1г(х) = 1'(*)?(х), (10.1)
в котором х= |х|. Изучаемое решение уравнения
(10.1) имеет следующее асимптотическое поведение:
Ч'- (х) = eikx + Ф (х),
[lim Ф(х) = 0, (10.2)
Х->СО
где к - вектор относительного импульса (k= |k|). Будем предполагать, что
потенциал удовлетворяет условию
СО
j х\V{x)\dx < оо. (10.3)
о
Пусть С - функциональное пространство непрерывных и ограниченных функций
от х с нормой
m=sUP|Y(x)i.
X
Пространство С полно; т. е. если функции ф" образуют некоторую
последовательность функций в пространстве С и если
lim || q>" - q>Jf = 0,
п, т->со
то существует функция ф ? С, такая, что lim || ф - Фя || = 0.
Д->со
В таком случае будем писать, что ф"-*-ф- Таким образом, для сходимости
справедлив критерий Коши,
10*
148 Гл. 10. Обычное дисперсионное соотношение
Пространство С является банаховым. Сходимость по норме является в этом
пространстве равномерной сходимостью.
Будем искать решения (10.1), принадлежащие С и удовлетворяющие
соотношениям (10.2). Первоначальные результаты будут относиться только к
потенциалам, принадлежащим С.
Введем еще пространство D2 дважды непрерывно дифференцируемых функций,
для которых оператор
ограничен. Этот оператор можно расширить следующим образом. Пусть фп-*-ф
и Дфп -> ц; определим тогда оператор равенством Лф=р, при этом
расширенную область действия оператора Д будем обозначать через D.
§ 3. Рассмотрение волнового уравнения
Пусть k вещественно, а волновая функция Ч! ?D. Уравнение Шредингера с
граничными условиями
(10.2) можно заменить следующим интегральным уравнением:
?(х) = г'кх + J G(x, x')V'(jc,)'F(x/)rfV, (10.4) где для G(x, х') имеем
Уравнение (10.4) удобно записать в операторной форме
W = 4f0+GV4f. (10.5)
Оператор GV=GV(k) будем рассматривать также и для комплексных k.
При изучении уравнения (10.5) для нас существенны следующие свойства
линейного оператора
GV(k):
§ 3. Рассмотрение волнового уравнения 149
а) При 1т?>0
оо
\GV{k)\< J x\V(x)\dx.
о
Здесь
\GV(k)\= sup ||OV(A)V||.
II v 11=1
Действительно,
||G утр || = sup J G (x, x') V (x') 4 (x') dsxf <
Далее,
?И WS\d'x'<^ jVwk'^+
0
оо CO
+ | \ V(x')\x' dx' -< J | V'(jc')|jc'eTjc'. (10.6)
X 0
Следовательно, оператор GV(k) ограничен. Если
оо
| x\V(x)\dx < 1, о
то уравнение (10.5) может быть разрешено итерациями, т. е. борновское
разложение сходится.
б) Оператор GV(k) при Im&>0 является вполне непрерывным оператором, т. е.
он переводит ограниченные множества функций пространства С в компактные
множества функций. Другими словами, он переводит любую ограниченную
последовательность функций фп 6 С в последовательность Е, имеющую в
пространстве С равномерно сходящуюся подпоследовательность.
Докажем сначала, что оператор GV(k) является вполне непрерывным,
предположив, что потенциал V(x) удовлетворяет неравенству |V(x)|<Af и что
У(х)=0 при x>R. Для доказательства того, что
150 Гл. 10. Обычное дисперсионное соотношение
оператор GV(k) вполне непрерывен, достаточно показать следующее:
1) все функции ф ?Е равномерно ограничены,
2) все функции ф 6 Я равностепенно непрерывны,
3) все функции ф?Я равномерно ограничены некоторой функцией /(%), для
которой Нт/(л:) = 0.
X-+QO
Свойство 1 сразу следует из "а". Свойство 2 можно вывести, используя то,
что последовательность дифференцирования по х и интегрирования по х'
можно изменить в силу ограничений, наложенных на потенциал. Легко видеть,
что все производные удовлетворяют неравенству (Х\-i-я компонента вектора
