Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
последовательности S/=S(/+V2) при целых />0 полностью эквивалентно
заданию функции f(t) в интервале 0^-i^4k2. При этом квадратичная
интегрируемость обеспечивается экспоненциальным убыванием Si при больших
I. Отсюда следует, что функция /(/) квадратично интегрируема в интервале
O^t^ik2.
§ 2. Унитарность
127
Если накладывать дополнительные ограничения на Si [или /(/)]> то
соответствующие ограничения будут иметь место и для f(t) [или S/].
Выяснение смысла подобной взаимосвязи будет основным содержанием
настоящей главы. Первым важным свойством является унитарность.
§ 2. Унитарность
Как было показано, вследствие эрмитовости взаимодействия сдвиги фаз при
вещественных k вещественны и
S, (9.4)
Парциальная амплитуда перехода была определена как
а(/+1, ^ = ^ = -2^(5,-1). (9.5)
Из (9.1), (9.4) и (9.5) имеем
со
'/(/)= S (2/ + 1) "Л (cos ft), (9.6)
1=0
= т1та<- (9-7)
Установим теперь, что следует из равенства (9.7) относительно свойств
функции /(/). Для этого нужно получить вначале некоторые тождества для
полиномов Лежандра. Из сферической тригонометрии известно, что если ¦О',
ф и ft', ф' - полярные координаты некоторых двух направлений в
пространстве и ft" - угол между этими двумя направлениями, то
cos ft" = cos ft cos (К + sin ft sin ft' cos (ф - ф').
Фиксируем ft', ф' и рассмотрим функции
JLt (ft, ф) = Pi (cos ft), (ft, ф) = Pv (cos ft"),
каждая из которых является сферической гармоникой переменных ft, ф. При I
ф I' эти гармоники представляют собственные функции полного углового
момента
128 Гл. 9. Аналитические свойства полной амплитуды
(L)2, соответствующие различным собственным значениям /(/+1) и /'(/'+1).
Следовательно, они ортогональны
J (ft, ф) (<>, ф) dQ. = О, IФ V. (9.8)
Если же 1=1', то интеграл в равенстве (9.8) не обращается в нуль и его
можно подсчитать с помощью теоремы сложения для сферических функций [7]
Pi (cos ft cos ft' + sin ft sin ft' cos ф) =
= Pt (cos ft) Pi (cos ft') +
I
-j-2 2 (-l)m/>rm(cosft)/>71(cosft')cosmf. (9.9)
m = l
Разлагая ф) по формуле (9.9) и подставляя результат в левую часть (9.8),
получаем
I с4.1 (ft, ф) 3Si (ft, ф) dQ =
2я 1
- Pt (cos ft') J dtp J P) (cos ft) d cos ft +
0 -1 l 2Я
+2 ^ (-1 )mP? (cos ft') J cos гщ d<p X
iti - 1 0
1
x J PTm (cos ft) Pi (cos ft) d cos ft.
-i
2я
Все интегралы вида J соэ/яф^ф равны нулю, если
о
только тфО, и, следовательно,
J Л/(ft, Ф)JV(ft, Ф) dQ. = Ьи> щгт Pi (cos ft'). (9.10)
При выводе соотношения (9.10) была использована также нормировка (9.3).
§ 2. Унитарность
129
Выделим явно в f(t) зависимость от cos ft [f(t) = F (cos ft)] и
рассмотрим интеграл
1 = J F(cosft)F* X
X [cos ft cos ft' + sin ft sin ft' cos (<p - q/)] dQ. (9.11) В силу (9.6)
имеем
оо оо
F(cos ft) - 2(2/4-l)<Wcosft)= 2 (2/+1)яг<^(^>Ф);
' /=0 1=0
(9.12)
CO 00
F* (cos ft")=2 (2/+1 )a*pt (cos ft")=2 (2/+1) a\ Я t (ft, ф).
Подставляя (9.12) в (9.11) и используя (9.10), легко находим, что.
°° А
I = 4л 2 (2 / ¦+ 1) I at р Pt (cos ft') Щ- 1ш F (cos ft'). i=o R.--
(9.13)
Полученное интегральное соотношение, полностью эквивалентное соотношению
(9.7), часто называют условием унитарности для полной амплитуды
рассеяния. Это соотношение можно представить в более симметричной форме,
если в качестве независимых переменных вместо ft и ф взять величины
t]=cosft и
? = cos ft cos ft' -)- sin ft sin ft' cos (ф - ф').
После несложных вычислений находим якобиан
Р №.. Ф) _ (1 _ т,а)-'А(1_Г]2_^2_? + 2|тЙ)-,Л
д (ч. О
где |=cos ft'.
Теперь необходимо найти границы области интегрирования по переменным rj и
?. В этой области полином
1 --Т,2-----^---
всегда положителен или равен нулю, так как
sin (ф - ф') = (1 - |2)"'Л (1 - п2)-'/2 А'/г. (9.14)
9 Зак. 18
130 Гл. 9. Аналитические свойства полной амплитуды
Далее при Л>О точкам в области интегрирования т), ? всегда можно
сопоставить О и ф, причем, согласно
(9.14), получаются два значения sin (ф-ф'). Следовательно, двойной
интеграл должен быть распространен на область Л >0 и взят с коэффициентом
2, так как при изменении ф в (9.14) от 0 до 2я величина Л,/г должна
соответствовать обоим значениям.
Соотношение (9.13) можно записать теперь в виде
J F (Ч)Г (c) d4 dl = ¦Ц- Im F {I).
Полагая
" - 1 _ A_ r- 1_____________? = l__-
T|- 1 2k2 ' v1 2k2 ' 6 1 2k2
И
A = k2 (2 txt2 + Щ - - t2) -
приходим к соотношению
J (9.15)
представляющему искомую форму условия унитарности, выраженного через
переменные передаваемого импульса.
§ 3. Асимптотические свойства в Х-плоскости и аналитичность относительно
переменной передаваемого импульса в ^-плоскости
Основываясь на установленных аналитических свойствах S(K,k) как функции
Я,, можно получить крайне важную форму записи формулы (9.1). Рассмотрим с
этой целью функцию
Согласно интегральному представлению
Рх-у, (ch ft) = f -й-dv,
,гУ ' я J (ch# - ch v)f*
§ 3. Асимптотические свойства и аналитичность
131
Рх-у, (- cos ft) при фиксированном cos ft - целая функция Я2, так что
,
Р-Х-у, (- COS О) = Pl-Чг (- COS ft)
