Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
следующей из (7.14):
sin"6~ [|t*=аг"с-
Все сказанное может быть обобщено на волны с/> 1, многоканальные задачи и
задачи со спином [11].
Другое интересное свойство резонансов следует из
(5.11)
ф(А,, k, х) -
= ~k' ~k)f(K k, x)\.
Если k близко к h, то f (к, k) и f(X, -k) малы по сравнению со своими
невозмущенными значениями /о(Я, &) и f0(X,-k). Это означает, что влияние
потенциала при резонансе состоит в "концентрировании" волновой функции,
которая асимптотически становится очень малой при больших х, оставаясь в
то же время нормированной на малых расстояниях, согласно соотношению
lim x~K~'^q>- 1.
х->0
Следовательно, в процессе рассеяния частица проводит намного больше
времени вблизи рассеивающего центра, чем она проводила бы при отсутствии
взаимодействия. Именно в этом состоит качественное объяснение резкого
возрастания сечения при резонансе.
Рассмотрим в заключение резонансы с точки зрения уравнения Шредингера,
содержащего время
AW - V (х) W = ^ W.
Формальное решение этого уравнения равно
§ 5. Антисвязанные состояния
97
где
Г = E^{h + ibf = E0-i^-, Г > 0.
На больших расстояниях радиальный поток вероятности будет в данном случае
задаваться выражением
ф " w [*V -*•'?!" 4Л-1 л <*> 1г -WT1? *¦"' > °-
Этот ток является расходящимся, и изменение вероятности в единицу времени
мало по сравнению с l^l2, если величина |6| и, следовательно., T = 4\b\h
мала. Вероятность непрерывно вытекает из области взаимодействия. Согласно
уравнению непрерывности, вероятность обнаружения рассеиваемой частицы
внутри заданной сферы должна убывать со временем. Такое убывание
обусловливается наличием мнимой части у Е: Im Е = -Г/2, в силу чего
j \Jf |2 __ J jP J2 e-hTt/2M'
При этом среднее время жизни т, равное т=2М/йГ, велико, если скорость
изменения вероятности мала. Рассеянная волна модулируется экспонентой,
возрастающей с расстоянием. Это понятно, так как дальше расположенные
части волны были испущены раньше, когда источник был более интенсивным
[11]. Наоборот, сопряженное решение представляет процесс, в котором
вероятности возрастают, поскольку направление тока в этом случае обратно.
§ 5. Антисвязанные состояния
Нули f(K,-k) при Im6<0 и Re 6=0 называются антисвязанными состояниями.
Как и в случае резонансов, соответствующие волновые функции не входят в
L2(0, оо), поэтому антисвязанные состояния нельзя считать истинными
состояниями в обычном квантовомеханическом смысле. Они оказывают влияние
на поведение сечений при низких энергиях, если энергия В - Ь2 (где k=tb)
антисвязанного состояния достаточно мала. Действительно, при малых k S{k)
7 Зак. 18
98
Гл. 7. Интерпретация полюсов S k)
можно разложить так же, как и в § 4:
\ (k) " С (b + ik), С вещественно1), f (- k)" С (b - ik),
sin 2б(^)"-^г, (7.16)
o(0)"-jr.
Если величина Ь очень мала, то сечение при низких энергиях становится
необычно большим. Так как вторая половина формул (7.16) четна
относительно Ь, то связанные и антисвязанные состояния не различаются в
этом отношении между собой. Только при отсутствии связанных состояний,
способных объяснить особое поведение сечения при низких энергиях, можно с
определенностью говорить о наличии антисвязанных состояний.
Волновая функция антисвязанного состояния удовлетворяет условиям,
полностью противоположным тем, которым обычно подчиняются "приличные"
волновые функции; она экспоненциально возрастает при больших х\ равенство
f(k)= 0 только исключает затухающую экспоненту из асимптотики, где эта
экспонента и без того несущественна.
Антисвязанным состояниям очень трудно дать физическую интерпретацию, как
это было сделано для связанных состояний или же резонансов с малой
шириной. Причина этой трудности состоит в том, что нижняя полуплоскость
переменной k для функции /(-k) является нефизической и недоступна для
прямого эксперимента в области низких энергий. Напомним, что в
нерелятивистской области, описываемой теорией потенциального рассеяния,
мы фактиче-
') См. (5.18). При й=0 и вещественных А, функция Иоста f(Kk) вещественна.
- Прим. перев.
§ 6. Неравенство Баргмана
99
ски можем мерить лишь значения на континууме вещественных k, а также
связанные состояния [нули f(k) при Im &<0]. Как было установлено в гл. 5,
с помощью этих данных можно построить f(k) при Im&<0, используя
дисперсионную технику или, попросту говоря, теорему Коши для
аналитических функций. Для области ImA:>0 подобной возможности нет.
Значения f(k) в этой области могут быть получены только аналитическим
продолжением из области Im &<0 с помощью техники Вейерштрасса, однако
любая подобная процедура дает результат, неустойчивый относительно малых
вариаций исходных данных. Действительно, произведем такую вариацию 6/(?)
функции f(k) на вещественной оси k и положений связанных состояний.
Аналитическое продолжение бf(k) будет аналитической функцией при lm&<0,
равномерно ограниченной в этой области постоянной. Отсюда сразу следует,
что функция бf либо не является аналитической, либо она не ограничена
