Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
если Re а> - '/г, то Im а>0 вдоль верхнего края разреза в комплексной
плоскости энергии.
Интересно пороговое поведение S(X,k) вблизи значения ? = 0; оно весьма
просто выводится из (5.28)
с" Z(X, E)-iExenslK
Z(X,E)-iEl *
при этом а(УЁ) может быть определено как корень уравнения
Z [o(VT) +4 ' ?]= iE<l ivI)+'h-
Как было показано в § 3 гл. 5, предыдущее уравнение нельзя использовать
при полуцелых а; в этом случае следует перейти к его предельной форме
4?- = г?а+1/21п?.
аа
При малых Е можно разложить Z(a + 42, Е) по степеням Е:
Z - Z0(a)ArZl (а) Е-\- ...,
где значение Z0[a(0)] = 0, а функцияZ0(а) регулярна при a = a(0). Если
а(0)<'/2, то член, пропорциональный Еа+Ч\ преобладает над членом с Е
Z (а) " Z' ja (0)] [a {YЕ) - a (0)]
и пороговое поведение равно
а (УЁ) - a (0) = О (Еа (0)+Vz).
Если а(0)>7г> то доминирует член с первой степенью Е и пороговое
поведение принимает вид
а(/Ё) -а(0) = О(Е).
В случае же a(0) = V2 имеем
а(УЁ) - а(0) = О(Е1пЕ). -
§ 7. Интегральное представление для f(E,t) 143
Для а<7г можно записать
?->0+
lim arg[a(l/i:)- a(0)] = n[i-a
?_кПХ L *
а для a>-V2
lim arg[a(y7T)-a(0)] = 0.
?->0+
Таким образом, при E = 0 траектория полюса отходит от вещественной оси в
следующих направлениях: вперед при волнах с 1>0; под прямым углом в
случае S-волн и назад при /<0 [77, 6]. При этом траектория тем ближе
"прижимается" к вещественной оси, чем более высокой волне соответствует
точка отрыва. Нет никаких общих соображений, запрещающих встречу
траекторий в точке, где (dF/dА)=0; в случае такой встречи функция Иоста
может иметь нуль второго порядка по Я и быть симметричной функцией, если
только траектории остаются аналитическими функциями Е. Конкретные
численные расчеты, выполненные для потенциала Юкавы, не показали
сближения траекторий, во всяком случае при Re a> - '/г- Это явление
возможно в левой полуплоскости, но это область нестабильности, и
полученные здесь результаты настолько сильно зависят от несущественных
характеристик потенциала, что не представляют интереса. К тому же они
никогда не определяют асимптотику релятивистских амплитуд вследствие
кризиса Грибова - Поме-ранчука [44], который не проявляется при
потенциальном рассеянии.
§ 7. Интегральное представление для / (Е, t)
Предположим, что f(E,t) обращается в нуль при больших t, т. е. что нет
полюсов с Re a>0. Тогда f(E, t) можем записать в виде интеграла
Стильтьеса
СО
144 Гл. 9. Аналитические свойства полной амплитуды
Используя формулу (9.2), получаем (А = / + 7г)
1 СО
a (A., k) = J Pt (cos ft) d cos ft J •
-1 m"
Вспоминая равенство -1
находим
со
fl(^- (! + m)dw
m2
Как показал Фруассар [38] (см. также [44]), формула (9.26), выведенная
первоначально только для целых /, определяет при комплексных А функцию
a(X,k), которая обладает асимптотическими и аналитическими свойствами,
согласующимися с описанными в предыдущих параграфах. Кроме того, формула
(9.26) дает единственное решение задачи восстановления полной комплексной
функции a(K,k) [или 5(A, k)] по заданной функции f(E,t). Действительно,
допустим, что существуют две такие функции Si (А) и S2(A), каждая из
которых соответствует одной и той же f(E,t). Ясно, что при физических
значениях А функции Si (А) и S2(A) будут совпадать и разность Z(A) =Si(A)
- S2(A) обратится в нуль. Кроме того, функция Z(A) должна стремиться к
нулю при больших А и быть аналитической в некоторой полуплоскости ReA>a>
- '/г. Но, согласно теореме-Карлсона (теорема 3 гл. 2), каждая такая
функция должна равняться нулю. Следовательно, Si(A)=S2(A) и ответ
является единственным.
Интересно отметить, что формула (9.2) в том виде, как она записана,
совершенно непригодна для получения правильного аналитического
продолжения S в A-плоскости, так как в полном противоречии с истиной она
дает целую функцию, четную относительно А. Это очевидное противоречие
связано с тем, что равенство (9.25) неверно при нецелых I и,
следовательно, соот-
(9.25)
(9.26)
§ 7. Интегральное представление для f(E,t) 145
ношения (9.2) и (9.26) не эквивалентны при комплексных А. Это положение
похоже на аналогичную ситуацию, возникающую в теории поля, где S(X,k)
определяют обычно, исходя из f(E,t), а не наоборот. В заключение следует
подчеркнуть, что многие из свойств функции S (A, k), изложенных в
предыдущих главах, могут быть также получены путем деталь^ ного
рассмотрения формулы (9.26) [6].
10 Зак. 18
ГЛАВА 10 ОБЫЧНОЕ ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ
§ 1. Введение
Дисперсионные соотношения в том виде, в котором они рассматриваются в
настоящей главе, появились впервые в релятивистской теории поля. Уже
тогда можно было заключить, что подобные дисперсионные соотношения имеют
место и для нотенциального рассеяния. Кури [58] первый вывел
диснерсионные соотношения для этого случая. В последующем были
предприняты значительные усилия, направленные на то, чтобы заменить
первоначальное доказательство Кури более убедительным и простым [39, 57,
