Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
2(R,-я); если же x>R, то g(k, х) обращается в единицу. Так как f(k)=g(k,
0), то f(k) относится ктипу 2R, что легко проверить для функции Иоста в
случае прямоугольной потенциальной ямы V{x) = V0Q(R-*):
k'* = k'2 - V0.
Интересным следствием приведенного положения является то обстоятельство,
что f(k) имеет бесконеч-
§ 6. Потенциалы, убывающие быстрее экспоненты 69
ное число нулей. Действительно, G(E) =f(k)f(-k) является целой функцией Е
порядка V2 и заведомо имеет, согласно общим теоремам [12], бесконечное
число нулей. Поскольку связанным состояниям соответствует только конечное
число нулей, соответствующая система должна обладать бесконечным числом
антисвязанных состояний и резонансов (см. гл. 7). В действительности во
всех подробно изученных случаях число антисвязанных состояний также
оказалось конечным. Можно дать весьма подробное описание асимптотического
распределения указанных нулей [88], однако такое исследование носит в
значительной мере академический характер, так как ясно, что при больших
|А| и 1шА>0 даже малое изменение потенциала вызывает качественное
изменение членов разложения f(k).
Все, что нам известно о случае "б",- ограничивается исследованием Сартори
[91], который показал, что если при больших х
| V (х) | < A exp [- (-J) +?],
где В>1, то f{k) имеет порядок 1 + 1 /В. Аналогичным образом можно
вывести заключения о существовании и распределении нулей f(k).
ГЛАВА 6
юкавские потенциалы
§ 1. Определение
В предыдущих главах мы ограничились обсуждением тех свойств f(k, k, х) и
<р(Я, k, х), которые непосредственно следуют из условий (3.2) на
потенциалы. Однако теория поля весьма определенно указывает на то, что
класс потенциалов, представляющих реальный интерес, в действительности
много уже [23, 24].
Сейчас большинством признается, что потенциальное' рассеяние может
рассматриваться как нерелятивистский предел теории поля только тогда,
когда У(х) может быть записано в следующем виде:
со
1^(лс) = J С (ц) <?-•** ф, (6.1)
т
где С(ц) -вообще говоря, обобщенная функция. Потенциалы указанного вида
называются юкавскими потенциалами. Специфической особенностью таких
потенциалов является то, что они могут быть определены для комплексных х.
Условие (6.1) означает, что V{x) является преобразованием Лапласа
некоторой (обобщенной) функции.
Для большей ясности мы будем в дальнейшем использовать х только для
обозначения вещественной переменной, а через z будем обозначать
комплексную переменную:
z = x-\-iy, Re z = х, \mz~y.
Формула
ОО
V(z)= J C{\i)e~^d\i (6.2)
m
обычным образом определяет V(z) при Rez=x>x0, где Xq зависит от
конкретного вида С(р). Опреде-
§ 2. Аналитические свойства волновых функций
71
ленная таким образом функция V(z) является аналитической в области
Re2>x0. При х<х0 интеграл в правой части уравнения (6.2) расходится. Для
теории потенциального рассеяния требуется, чтобы V(х) было определено при
всех положительных х, т. е. обязательно должно быть Хо-^О
(ниже это всегда предпо-
лагается) .
Кроме (6.1), мы по-прежнему сохраняем условия
(3.2). Для этого достаточно, чтобы
со оо оо
J х | V (х) | dx < J | С (р.) | d[i J хе~^х dx =
О m О
оо
= J 1ОД|-^<оо. (6.3)
m
Если С(р) представляет собой функцию ограниченного изменения, то
соотношение (6.1) можно записать в виде интеграла Стилтьеса
оо
v(z)= f-^P-dC(n). (6.4)
тп
При вполне непрерывной С(р) можно написать
оо
V (г) = j - о (р) d[i, (6.5)
тп
где о(р) = С'(р). Полагая С(р) == А - const, находим
p-mz
V(z) = A^~.
Это знаменитый потенциал Юкавы, по имени которого назван весь
рассматриваемый класс потенциалов.
§ 2. Аналитические свойства волновых функций
Если V (z) - юкавский потенциал, то из теоремы 6
гл. 2 сразу следует, что <p(A,, k, z) и f(K, k, z) могут
быть продолжены в комплексную плоскость z при х>0. Из этого вывода
вытекают очень важные
72
Гл. 6. Юкавские потенциалы
следствия, касающиеся аналитических свойств /(Я, k, z) как функции k при
фиксированных г и Я.
Чтобы показать это, воспользуемся методом [16], основы которого были
изложены Дейчем [30] при описании свойств преобразования Лапласа. Запишем
дифференциальное уравнение
ф -1/ (Z) ф = о
вдоль фиксированного луча а^г=ф или г=ре^, где Ф - фиксированный
параметр, а р играет роль х. В этом случае
-9г + ^[^-К(Р^)]ф-^=^-ф = 0. (6.6)
Уравнение (6.6) может быть представлено в виде нового уравнения для
парциальных волн
+ Л2Ф _ AlziVi ф _ щ = о, (6.7)
где
h = ke^, lF(p)==K(p^'P)e2'tP.
Для этого нового уравнения можно определить свое решение Иоста /ДЯ, h,
р). Чтобы избежать путаницы на данном этапе вычислений, мы будем явно
указывать вид потенциала в аргументе функции Иоста:
f (Я, k, z) - f [Я, k, z; V (яг)],
А (Я, h, р) = ПЯ, h, р; Щр)].
Согласно предыдущему, как ft (Я, А, р), так и /ДЯ, -А, р) могут быть
продолжены в область комплексных значений А и р. В частности, /ДЯ, h, р)
будет аналитической функцией А при Im А<0. Продолжение по р
достигнет в конце концов области х>0,
